抛物线讲义

第1页抛物线讲义知识点一．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离______的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________。注：当定点F在定直线l时，动点的轨迹：_____________________。知识点二：抛物线的标准方程和几何性质题型一：抛物线的定义及其应用1．抛物线的离心率e=1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离。2．焦半径2pxPF或2pyPF在解题中有重要作用，注意灵活运用。例1、若动点P到定点)0,4(F的距离与到直线4x的距离相等，则P点的轨迹是（）A.抛物线B.线段C.直线D.射线变式：已知抛物线)0(22ppxy上一点P，F为焦点，则以PF为直径的圆与标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp图形性质对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标(,0)2pF(,0)2pF(0,)2pF(0,)2pF准线方程2px2px2py2py焦半径0||2pPFx0||2pPFx0||2pPFy0||2pPFy范围0x≥0x≤0y≤0y≥顶点(0,0)O(0,0)O离心率e1e1e第2页y轴的位置关系是__________.例2：设P是抛物线xy42上的一个动点．(1)求点P到点)1,1(A的距离与点P到直线1x的距离之和的最小值；(2)若)2,3(B，求PFPB的最小值．变式：(2011·山东高考)设00(,)Mxy为抛物线C：28xy上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则0y的取值范围是（）A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)题型二：抛物线的标准方程与几何性质：求抛物线的标准方程常采用待定系数法。利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值.焦点在x轴上的抛物线方程为_______________________；焦点在y轴上的抛物线方程为_______________________.注：抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是关键，在方程类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p，只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程。例1：已知抛物线的焦点为)0,3(F，则它的标准方程为__________,准线方程为____________.例2：抛物线2axy的准线方程为21y，则a_________.变式1：已知抛物线过点)2,1(P，则抛物线的标准方程为_________________.变式2：已知抛物线)0(42aaxy，求它的焦点坐标及p值.变式3：在抛物线xy122上，与焦点的距离等于9的点的坐标为_____________.变式4：已知F是抛物线xy2的焦点，BA,是该抛物线上的两点，且3BFAF，则线段AB的中点到y轴的距离为___________.变式5：已知抛物线顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点)8,(0x到焦点的距离等于17，求抛物线的方程.例3：已知如图所示，抛物线22(0)ypxp的焦点为F，A在抛物线上，其横第3页坐标为4，且位于x轴上方，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M。（1）求抛物线方程；（2）过M作FAMN，垂足为N，求点N的坐标。变式1、抛物线)0(22ppxy的焦点为F，准线为l，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，lAK，垂足为K，若BC＝BF2，且4AF，则AKF的面积是()A．4B．33C．34D．8变式2、过抛物线)0(22ppxy的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若BFBC2，且3AF则此抛物线的方程为()A．xy232B．xy92C．xy292D．xy32典例：点的轨迹：例1：已知点M到点)0,4(F的距离比它到直线05:xl的距离小1，求点M的轨迹方程.变式：已知圆1)2(:22yxA与定直线1:xl，动圆M和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心M的轨迹方程.例2：已知点)0,2(),0,2(BA，动点),(yxP满足2PAPBx，求点P的轨迹方程.第4页变式：已知点)1,0(F，直线1:yl，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QPQFFPFQ，求动点P的轨迹方程.例3：已知点)1,0(A，点B是抛物线122xy上的一个动点，求线段AB的中点M的轨迹方程.题型三：直线与抛物线的位置关系1.直线与抛物线的位置关系设抛物线方程为22(0)ypxp,直线0CByAx,将直线方程与抛物线方程联立,消去x得到关于y的方程02qnymy(1)若0m,当⊿＞0时,直线与抛物线有两个公共点；当⊿=0时,直线与抛物线只有一个公共点；当⊿＜0时,直线与抛物线没有公共点.(2)若0m,直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线的对称轴平行.2.弦长公式：(1)一般公式：22121212211()41ABkxxxxyyk（2）焦点弦：已知AB是过抛物线22(0)ypxp的焦点的弦,F为抛物线的焦点，设),(11yxA，),(22yxB，则（1）212yyp，1x·2x=24p；（2）1222||()sinpABxxpAB为直线的倾斜角（3）22sinABCpS；（4）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。3.中点弦问题：方法一用“设而不求”法求中点弦方程，充分利用了弦中点坐标和弦两端点坐标间的关系；方法二中求中点弦的方法叫做“点差法”，该方法常用来处理中点弦问题.例1：设直线1:kxyl，抛物线xyC4:2，当k为何值时，l与C相切、相交、相离？第5页变式：求过点)1,0(P且与抛物线xy22有且只有一个公共点的直线方程.例2：设直线bxy2与抛物线xy42交于BA,两点，已知弦AB的长为53，求b的值.变式1：设F为抛物线xyC3:2的焦点，过F且倾斜角为030的直线交C于BA,两点，O为坐标原点，求OAB的面积.变式2：已知抛物线方程为)0)(1(22pxpy，直线myxl:过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值.例3：过点)1,4(M作抛物线xy82的弦AB，若弦AB恰被点M所平分，求弦AB所在直线的方程.巩固1、(2011·江西高考)已知过抛物线)0(22ppxy的焦点，斜率为22的直线交抛物线于))(,(),,(212211xxyxByxA两点，且9AB.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OCOAOB，求的值．第6页巩固2：已知点),1(yM在抛物线)0(2:2ppxyC上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线bxyl21:与抛物线C交于BA,两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．【巩固提升】1．抛物线24xy上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A．－1716B．－1516C.716D.15162．抛物线)0(42ppxy上一点M到焦点的距离为a，则M到y轴的距离为（）A.paB.paC.2paD.pa23.已知抛物线ayx2的焦点恰好为双曲线222xy的上焦点，则a等于（）A．1B．4C．8D．164．已知抛物线pxy22，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定5．(2012·宜宾检测)已知F为抛物线xy82的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则FBFA的值等于()A．42B．8C.82D．166．在22xy上有一点P，它到)3,1(A的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A．(－2,1)B．(1,2)C．(2,1)D．(－1,2)7．设抛物线xy82的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，lPA，A为垂足．如果直线AF的斜率为3，那么PF＝()A．43B．8C．83D．168．(2012·永州模拟)以抛物线yx162的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为____________________．第7页9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点),3(mQ到焦点的距离是5，则抛物线的方程为____________．10．已知抛物线xy42与直线042yx相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么FAFB＝________.11．过抛物线xy42的焦点作直线交抛物线于A(11,xy)，B(22,xy)两点，若12xx＝6，那么AB等于________.12.已知F是抛物线xyC4:2的焦点，BA,是C上的两个点，线段AB的中点为)2,2(M，则ABF的面积等于___________.13．根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线14491622yx的左顶点；(2)过点)4,2(P．14．已知点)0,1(A，抛物线xyC4:2，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于PM,两点，若向量OM与OP的夹角为4，求POM的面积．15.（2014长春三模）已知抛物线)0(2:2ppxyC的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于NM,两点，8MN.（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l为抛物线的切线，且lMN，P为l上一点，求PMPN的最小值.