东北三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2013届高三第二次联合模拟考试数学(理)试题

2013年哈师大附中第二次高考模拟考试理科数学本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．选择题使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色自己的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色自己的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合{|||3}Axx，{|1}Bxyx，则集合AB为A．[0,3)B．[1,3)C．(1,3)D．(3,1]2．“a=1”是“复数21(1)aai（aR，i为虚数单位）是纯虚数”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．以下有关线性回归分析的说法不正确．．．的是A．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心(,)xyB．用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使21()niiiybxa最小的a,b的值C．相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱D．22121()1()niiiniiyyRyy越接近1，表明回归的效果越好4．将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“至少两次正面向上”的概率为A．14B．34C．38D．11165．已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若，且a4与a7的等差中项为98，A．35B．33C．31D．296．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所的图象的函数解析式是A．cos2yxB．22cosyxC．1sin(2)4yxD．22sinyx7．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为A．332B．832C．662D．8628．已知圆M过定点(2,1)且圆心M在抛物线24yx上运动，若y轴截圆M所得的弦长为AB，则弦长||AB等于A．4B．3C．2D．与点M位置有关的值9．当a0时，函数2()(2)xfxxaxe的图象大致是10．已知椭圆22221(0)xyabab与双曲线22221(0,0)xymnmn有相同的焦点(,0)c和(,0)c，若c是a与m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率为A．12B．14C．22D．3311．已知函数321()(1)(3)23fxxbxabxb的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，则不等式组00xayxby所确定的平面区域在224xy内的面积为A．3B．2C．D．212．在底面半径为3，高为423的圆柱形有盖容器中，放入一个半径为3的大球后再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入的小球的个数最多的为A．4个B．5个C．6个D．7个第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．已知函数12log,1()12,1xxxfxx，则((2))ff__________。14．执行如图所示的程序框图，则输出结果S的值为__________。15．平面上三个向量OA、OB、OC，满足||1OA，||3OB，||1OC，0OAOB，则CACB的最大值是__________。()xfxeax，若16．已知函数()fx是定义在R上的偶函数，当0x时，函数在R上有且仅有4个零点，则a的取值范围是__________。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且1a，2c，3cos4C。（1）求sinA的值；（2）求ΔABC的面积。18．（本小题满分12分）某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排共有两种：白天背和晚上临睡前背。为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排类型进行分层抽样，并完成一项实验，实验方法是，使两组学生记忆40个无意义音节（如XIQ、GEH），均要求在刚能全部记清时就停止识记，并在8小时后进行记忆测验。不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验。两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点而不含右端点）（1）估计1000名被调查的学生中识记停止后8小时40个音节的保持率大于等于60%的人数；（2）从乙组准确回忆因结束在[12,24)范围内的学生中随机选3人，记能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量X，求X分布列及数学期望；（3）从本次实验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好?计算并说明理由。19．（本小题满分12分）已知四边形ABCD为平行四边形，BC⊥平面ABE，AE⊥BE，BE=BC=1，AE=3，M为线段AB的中点，N为线段DE的中点，P为线段AE的中点。（1）求证：MN⊥EA；（2）求四棱锥M–ADNP的体积。20．（本小题满分12分）设椭圆C：22221(0)xyabab的两个焦点为F1、F2，点B1为其短轴的一个端点，满足1112||||2BFBF，11122BFBF。（1）求椭圆C的方程；（2）过点M(1,0)做两条互相垂直的直线l1、l2设l1与椭圆交于点A、B，l2与椭圆交于点C、D，求的最小值。21．（本小题满分12分）已知函数1()()afxaxaRx，()lngxx。（1）若对任意的实数a，函数()fx与()gx的图象在x=x0处的切线斜率总想等，求x0的值；（2）若a0，对任意x0不等式()()1fxgx恒成立，求实数a的取值范围。22．（本小题满分10分）选修4-1：集合证明选讲如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D。（1）求证：CE2=CD·CB；（2）若AB=BC=2，求CE和CD的长。23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，已知点P(0,3)，曲线C的参数方程为5cos15sinxy（φ为参数）。以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为32cos()6。（1）判断点P与直线l的位置关系，说明理由；（2）设直线l与直线C的两个交点为A、B，求||||PAPB的值。24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|27|1fxx。（1）求不等式()|1|fxx的解集；（2）若存在x使不等式()fxax成立，求实数a的取值范围。2013年三省三校第二次联合考试理科数学答案一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）BCCDCBBABABC二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.14.15.316.三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分12分）解：（Ⅰ）（Ⅱ）124124(,)e37cos,sin,44CC21214,sinsinsinsin874acAACA62222232cos,21,2320,22cababCbbbbb918.（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵，由甲图知，甲组有（人），∴乙组有20人．又∵，∴识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的在甲组中有1人乙组有（人）∴即估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节的保持率大于等于60%的人数为180人．（Ⅱ）由乙图知，乙组在之间有（人）在之间有（人）∴的可能取值为0,1,2,3，，，∴的分布列为0123数学期望．（Ⅲ）参考答案：甲组学生准确回忆音节数共有：个故甲组学生的平均保持率为乙组学生准确回忆音节数共有：个故乙组学生平均保持率为，所以临睡前背单词记忆效果更好.（只要叙述合理都给分）19.解：方法一：1177sin122244ABCSabC1210005%5041084211304060%24(0.06250.0375)4208(18)5%1804[12,24)(0.0250.0250.075)42010[20,24)0.0754206X630463101(0)30CCPXC21463103(1)10CCPXC12463101(2)2CCPXC03463101(3)6CCPXC8XXP130310121613119()01233010265EX102881261222118414810106420.246.9401302884014324)0375.0300625.026075.022025.018025.0140125.0100125.06(0.240.546.214012043240112（Ⅰ）取中点，连接，又平面，平面，又又平面，（Ⅱ）过作于，连接平面，又平面，又平面，又，平面，二面角为二面角的平面角在中，二面角的余弦值为方法二：（Ⅰ）平面平面，平面平面，过作平面，则以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系AEP,PMPN,//AEBEMPBEMPAEBCABEAEABEBCAE,NPAE,,NPMPPNPMPPMNAEMNP平面MNMNP平面AEMN4MMKNEKKP,//,MPAEADBCADABEPMABEADPMADAEAPMADEPMDEPMNE,MKNEMKMPMNEPMKNEPKPKMMENA8RtMPK113,224PEPKPMBEPKDEAD223171644KMPKPM21cos7PKM21712BC,ABEBCABCDABEABCDBCABBBQABCDBQABE平面,,BABCBQxyz2ABABCDEMNPKABCDEMNPKABCDEMNABCDEMNxyz，（Ⅱ），，设为平面的一个法向量为满足题意的一组解，，设为平面的一个法向量，为满足题意的一组解，二面角的余弦值为20.解：（Ⅰ）不妨设所以椭圆方程为（Ⅱ）①当直线与轴重合时，设，则②当直线不与轴重合时，设其方程为，设由得1513(2,0,0),(0,0,0),(1,0,0),(2,1,0),(,0,),(,,)22424ABMDEN113(,,)424MN33(,0,)22AE330088MNAEMNAE4113(,,)424MN313(,,)424NE111(,,)xyznMNE11111111304243130424xyzxyz1111133xyz3(1,1,)3n7313(,,)424AN33(,0,)22AE222(,,)xyzmANE22222313042433022xyzxz222103xyz(1,0,3)m721cos,7mnmnmn21712121(,0),(,0),(0,),FcFcBb1,22||1111bbFBFB122112123,2BF