届高考数学一轮复习讲义专题五直线与圆锥曲线-精选

一轮复习讲义直线与圆锥曲线1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程f(x，y)＝0.由Ax＋By＋C＝0fx，y＝0，消元如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.要点梳理忆一忆知识要点①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.a．Δ0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b．Δ0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c．Δ0时，直线和圆锥曲线没有公共点．忆一忆知识要点＝要点梳理2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长P1P2＝或P1P2＝.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)．(3)求经过圆锥曲线的焦点的弦的长度，应用圆锥曲线的定义，转化为两个焦半径之和，往往比用弦长公式简捷．忆一忆知识要点1＋k2|x1－x2|1＋1k2·|y1－y2|要点梳理3．圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．在椭圆x2a2＋y2b2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－b2x0a2y0；在双曲线x2a2－y2b2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝b2x0a2y0；在抛物线y2＝2px(p0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝py0.忆一忆知识要点要点梳理[难点正本疑点清源]1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点．还可通过代数方法即解方程组的办法来研究．因为直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法．2．直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．例1已知定圆A：(x＋1)2＋y2＝16，圆心为A，动圆M过点B(1,0)且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C.(1)求曲线C的方程；(2)若点P(x0，y0)为曲线C上一点，求证：直线l：3x0x＋4y0y－12＝0与曲线C有且只有一个交点．直线与圆锥曲线的位置关系对于第(1)问，利用“定义法”易得轨迹C的方程；对于第(2)问，在消元过程中，应对斜率存在与否进行讨论，即对y0进行分类讨论．(1)解圆A的圆心为A(－1,0)，半径r1＝4，设动圆M的圆心M为(x，y)，半径为r2，依题意有r2＝MB.由AB＝2，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，故MA＝r1－r2，即MA＋MB＝4，所以点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，由2a＝4,2c＝2，可得a2＝4，b2＝3.故曲线C的方程为x24＋y23＝1.(2)证明当y0＝0时，由x204＋y203＝1，可得x0＝±2.①当x0＝2，y0＝0时，直线l的方程为x＝2，此时直线l与曲线C有且只有一个交点(2,0)．②当x0＝－2，y0＝0时，直线l的方程为x＝－2，此时直线l与曲线C有且只有一个交点(－2,0)．当y0≠0时，直线l的方程为y＝12－3x0x4y0，联立方程组，得y＝12－3x0x4y0，x24＋y23＝1.消去y，得(4y20＋3x20)x2－24x0x＋48－16y20＝0.(*)由点P(x0，y0)为曲线C上一点，得x204＋y203＝1.于是方程(*)可化简为x2－2x0x＋x20＝0，解得x＝x0，把x＝x0代入方程y＝12－3x0x4y0，可得y＝y0.故直线l与曲线C有且只有一个交点P(x0，y0)．综上，直线l与曲线C有且只有一个交点，且交点为P(x0，y0)．将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．探究提高在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OP→＋OQ→与AB→垂直？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．变式训练1解(1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋2，代入椭圆方程得x22＋(kx＋2)2＝1，整理得12＋k2x2＋22kx＋1＝0.①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于①中Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－20，解得k－22或k22.即k的取值范围为－∞，－22∪22，＋∞.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP→＋OQ→＝(x1＋x2，y1＋y2)由方程①得，x1＋x2＝－42k1＋2k2，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋22＝－42k21＋2k2＋22.∵(OP→＋OQ→)⊥AB→，∴(x1＋x2)·(－2)＋y1＋y2＝0，即：－42k1＋2k2·(－2)－42k21＋2k2＋22＝0.解得：k＝－24，由(1)知k212，与此相矛盾，所以不存在常数k使OP→＋OQ→与AB→垂直．例2设点F0，32，动圆P经过点F且和直线y＝－32相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.(1)求曲线W的方程；(2)过点F作互相垂直的直线l1，l2分别交曲线W于A，B和C，D.求四边形ACBD面积的最小值．圆锥曲线中的弦长问题解(1)过点P作PN垂直于直线y＝－32于点N，依题意得PF＝PN，所以动点P的轨迹是以F0，32为焦点，直线y＝－32为准线的抛物线，即曲线W的方程是x2＝6y.(2)如图所示，依题意，直线l1，l2的斜率存在且不为0，设直线l1的方程为y＝kx＋32，由l1⊥l2得l2的方程为y＝－1kx＋32.将y＝kx＋32代入x2＝6y，化简得x2－6kx－9＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6k，x1x2＝－9，∴AB＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝6(k2＋1)．同理可得CD＝61k2＋1，∴四边形ACBD的面积S＝12AB·CD＝18(k2＋1)1k2＋1＝18k2＋1k2＋2≥72.当且仅当k2＝1k2，即k＝±1时，Smin＝72，故四边形ACBD面积的最小值是72.由直线与圆锥曲线的方程联立解方程组是解决这类问题的通法，而相关的最值的讨论求解往往需要建立目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来求解．探究提高设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆y2a2＋x2b2＝1(ab0)上的两点，已知向量m＝x1b，y1a，n＝x2b，y2a，若m·n＝0且椭圆的离心率e＝32，短轴长为2，O为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线AB的斜率存在且直线AB过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值；(3)试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．变式训练2解(1)由题意知2b＝2，b＝1，e＝ca＝a2－b2a＝32，则a＝2，c＝3.故椭圆的方程为y24＋x2＝1.(2)由题意，设直线AB的方程为y＝kx＋3，由y＝kx＋3y24＋x2＝1，得(k2＋4)x2＋23kx－1＝0，∴x1＋x2＝－23kk2＋4，x1x2＝－1k2＋4.由m·n＝0，得：x1x2b2＋y1y2a2＝x1x2＋14(kx1＋3)(kx2＋3)＝1＋k24x1x2＋3k4(x1＋x2)＋34＝k2＋44－1k2＋4＋3k4·－23kk2＋4＋34＝0，解得k＝±2.(3)①当直线AB的斜率不存在时，即x1＝x2，y1＝－y2，由m·n＝0，得x21－y214＝0，即y21＝4x21，又A(x1，y1)在椭圆上，所以x21＋y214＝1，所以|x1|＝22，|y1|＝2，所以S△AOB＝12|x1|·|y1－y2|＝|x1|·|y1|＝1，所以△AOB的面积为定值．②当直线AB的斜率存在时：设直线AB的方程为y＝kx＋b，由y＝kx＋by24＋x2＝1，得(k2＋4)x2＋2kbx＋b2－4＝0，则x1＋x2＝－2kbk2＋4，x1x2＝b2－4k2＋4，由x1x2＋y1y24＝0，得x1x2＋kx1＋bkx2＋b4＝0，整理得：2b2－k2＝4，所以S△AOB＝12·|b|1＋k2·AB＝12|b|x1＋x22－4x1x2＝|b|4k2－4b2＋16k2＋4＝4b22|b|＝1，所以△AOB的面积为定值．例3已知定点C(－1,0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使MA→·MB→为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．圆锥曲线中的定值或定点问题分斜率存在和不存在两种情况讨论，假设存在，那么数量积MA→·MB→应该与直线的方向无关．解假设在x轴上存在点M(m,0)，使MA→·MB→为常数．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．①当直线AB与x轴不垂直时，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，将y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理，得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.则Δ＝36k4－43k2＋13k2－50，x1＋x2＝－6k23k2＋1，x1·x2＝3k2－53k2＋1.所以MA→·MB→＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.整理，得MA→·MB→＝6m－1k2－53k2＋1＋m2＝2m－133k2＋1－2m－1433k2＋1＋m2＝m2＋2m－13－6m＋1433k2＋1.注意到MA→·MB→是与k无关的常数，从而有6m＋14＝0，m＝－73，此时MA→·MB→＝49.②当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为A－1，23、B－1，－23，当m＝－73时，亦有MA→·MB→＝49.综上，在x轴上存在定点M－73，0，使MA→·MB→为常数．本题的难点是由MA→·MB→的表达式，如何确定m值使其与直线的斜率无关，化解的方法就是对k进行集项，只有当k的系数等于零时，式子的值才能与k无关，即在m2＋2m－13－6m＋1433k2＋1中6m＋14＝0.本题当然也可以先通过特殊位置确定数量积的值和M的坐标，再进行具体证明．探究提高椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点P1，32且离心率为12.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．变式训练3(1)解设椭圆方程为