2.4双曲线的简单几何性质(第二课时)

第二课时关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率yxOA2B2A1B1..F1F2yB2A1A2B1xO..F2F1)0(1babyax2222bybaxaA1（-a，0），A2（a，0）B1（0，-b），B2（0，b）)10(eaceF1(-c,0)F2(c,0)F1(-c,0)F2(c,0)),b(abyax0012222Ryaxax，或关于x轴、y轴、原点对称A1（-a，0），A2（a，0）)1(eace渐进线无xaby关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率)0(1babyax2222A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）),b(abxay0012222Rxayay，或关于x轴、y轴、原点对称)1(eace渐进线xbay..yB2A1A2B1xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)Ryaxax，或)1(eacexaby1、“共渐近线”的双曲线222222221(0)xyxyabab与共渐近线的双曲线系方程为，为参数，λ0表示焦点在x轴上的双曲线；λ0表示焦点在y轴上的双曲线。2、“共焦点”的双曲线（1）与椭圆有共同焦点的双曲线方程表示为22221(0)xyabab2222221().xybaab（2）与双曲线有共同焦点的双曲线方程表示为22221(0,0)xyabab2222221()xybaab2211492454xye、求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程。复习练习：2.求与椭圆xy221681有共同焦点，渐近线方程为xy30的双曲线方程。3、求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。22185xy例1、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).A′A0xC′CB′By131225例题讲解xyOlF引例：点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线的距离比是常数(ca0)，求点M的轨迹.cx2aacM解：设点M(x,y)到l的距离为d，则||MFcda即222()xcycaaxc化简得(c2－a2)x2－a2y2=a2(c2－a2)设c2－a2=b2，22221xyab(a0,b0)故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.222()||axcyacx22224222(2)2axcxcyaacxcxb2x2－a2y2=a2b2即就可化为:M点M的轨迹也包括双曲线的左支.一、第二定义双曲线的第二定义平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是双曲线。定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.对于双曲线22221xyab是相应于右焦点F(c,0)的右准线类似于椭圆2axc是相应于左焦点F′(-c,0)的左准线2axcxyoFlMF′2axcl′2axc点M到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义.想一想：中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的？xyoF相应于上焦点F(c,0)的是上准线2yac2yac相应于下焦点F′(-c,0)的是下准线2yac2yacF′例2、点M（x,y）与定点F（5,0），的距离和它到定直线：的距离的比是常数,求点M的轨迹.l165x54y0ld例3、已知双曲线221,169xyF1、F2是它的左、右焦点.设点A(9,2),在曲线上求点M，使24||||5MAMF的值最小,并求这个最小值.xyoF2MA165x由已知：解：a=4,b=3,c=5,双曲线的右准线为l:54e作MN⊥l,AA1⊥l,垂足分别是N,A1,N2||5||4MFMN24||||5MFMNA124||||||||5MAMFMAMN1||AA当且仅当M是AA1与双曲线的交点时取等号,令y=2,解得:4132x413,2,3M即29.5最小值是归纳总结1.双曲线的第二定义平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是双曲线。定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。2.双曲线的准线方程对于双曲线22221,xyab准线为2axc对于双曲线22221yxab准线为2ayc注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法∆0∆=0∆0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交二、直线与双曲线的位置关系1)位置关系种类XYO种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)2)位置关系与交点个数XYOXYO相离:0个交点相交:一个交点相交:两个交点相切:一个交点3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐进线平行相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离消去，得2222y=kx+my:xy-=1ab(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。重合：无交点；平行：有一个交点。2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,Δ0直线与双曲线相交（两个交点）Δ=0直线与双曲线相切Δ0直线与双曲线相离②相切一点:△=0③相离:△＜0注:①相交两点:△＞0同侧：＞0异侧:＜0一点:直线与渐进线平行12xx12xx特别注意直线与双曲线的位置关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线(1)没有公共点;(2)有两个公共点;(3)只有一个公共点;(4)交于异支两点；(5)与左支交于两点.(3)k=±1，或k=±；52(4)-1＜k＜1；(1)k＜或k＞；525252(2)＜k＜；52125-k1k且1.过点P(1,1)与双曲线只有共有_______条.变题:将点P(1,1)改为1.A(3,4)2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的?4116922yx1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.交点的一个直线XYO（1，1）。2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_________01，，3.过原点与双曲线交于两点的直线斜率的取值范围是13422yx323，，2例4、如图，过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。22136xy2,F30分析:求弦长问题有两种方法:法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公式代入求弦长;法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理.三、弦长问题练习:1.过双曲线116922yx的左焦点F1作倾角为4的直线与双曲线交于A、B两点，则|AB|=.2.双曲线的两条渐进线方程为20xy，且截直线30xy所得弦长为833，则该双曲线的方程为（）(A)2212xy(B)2214yx(C)2212yx(D)2214xyD1927－－韦达定理与点差法例.已知双曲线方程为3x2-y2=3,求：(1)以2为斜率的弦的中点轨迹；(2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹；(3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程.(4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由；1.位置判定2.弦长公式3.中点问题4.垂直与对称5.设而不求(韦达定理、点差法)小结：拓展延伸22121200221212001.1,169:3:2(,)1,3,(,)xyPFFPFPFPxyyxFFPFPFPxy已知为双曲线右支上的一点,分别为左、右焦点，若，试求点的坐标。2.已知双曲线左、右焦点分别为，双曲线左支上的一点P到左准线的距离为d，且d,成等比数列，试求点的坐标.3、设双曲线C：与直线相交于两个不同的点A、B。（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。（2）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值。2221(0)xyaa:1lxy5,12PAPB1317,06028912,,.12125.1212172222222222aaaaxaaxaax所以由得消去所以4、由双曲线上的一点P与左、右两焦点构成，求的内切圆与边的切点坐标。22194xy12FF、12PFF12PFF12FF说明：双曲线上一点P与双曲线的两个焦点构成的三角形称之为焦点三角形，其中和为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理。12FF、12||||PFPF、12||FF