二次函数专题讲解

1二次函数专题讲解一、知识综述：1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，。3.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.4.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；③2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2.它们的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0x（y轴）（0,0）kaxy20x（y轴）(0,k)2hxayhx(h,0)hx(h,k)cbxaxy2abx2(abacab4422，)开口大小与｜a｜成反比，｜a｜越大，开口越小；｜a｜越小，开口越大。5.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.6.二次函数图象的平移左加右减（对X），上加下减（对Y）。khxay22二、考点分析及例题解析考点一：二次函数的概念例1：如果函数1)3(232mxxmymm是二次函数，那么m的值为。考点二：二次函数的图象例2（2016年广东省广州市）已知抛物线y＝－x2＋2x＋2．（1）该抛物线的对称轴是，顶点坐标；（2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；x……y……（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．例3(2016年安徽省芜湖市)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝ax与正比例函数y＝（b＋c）x在同一坐标系中的大致图象可能是（）例4(2016年兰州市)抛物线cbxxy2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322xxy，则b、c的值为（）A.b=2，c=2B.b=2，c=0C.b=-2，c=-1D.b=-3，c=2例5.（2006，大连）右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．变式训练：1、在同一坐标系中，直线baxy和抛物线cbxaxy2的图象只可能是（）-5-4-3-2-1O12345xy-11YOXYOXYOXYOX32、（山西）抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2，平移方法是（）A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位考点三：确定二次函数的解析式例4：（2016年宁波市）如图，已知二次函数cbxxy221的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点。（1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积。解：（1）把A（2，0）、B（0，－6）代入cbxxy221得：6022ccb解得64cb∴这个二次函数的解析式为64212xxy（2）∵该抛物线对称轴为直线4)21(24x∴点C的坐标为（4，0）∴224OAOCAC∴6622121OBACSABC变式训练：1、已知：函数cbxaxy2的图象如图：那么函数解析式为（）（A）322xxy（B）322xxy（C）322xxy（D）322xxy考点四：最值问题例5：矩形ABCD的边AB=6cm，BC=8cm，在BC上取一点P，在CD边上取一点Q，使∠APQ成直角，设BP=xcm，CQ=ycm，试以x为自变量，写出y与x的函数关系式.并求出CQ的最大值。yxCAOB第4题3o-13yxABCDPQ4例6：如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点。点A,C的坐标分别是(-1,0),(0,23)（1）求此抛物线对应的函数解析式；（2）若点P是抛物线上位于轴上方的一个动点，求△ABP的面积的最大值。变式训练：1、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这个正方形面积之和的最小值是________cm。2、如图，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．（1）用含y的代数式表示AE；（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．考点五：以二次函数为基架的综合题例7：某超市经销一种销售成本为每件40元的商品。据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周的销售量就减少10件。设销售单价为每件x元（x≥50）,一周的销售量为y件。（1）写出y与x的函数关系式；（标明x的取值范围）（2）设一周的销售利润为s，写出s与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，香洲随着单价的增大而增大；（3）在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？变式训练：某商店经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出210件；销售单价每涨1元，则每个月少卖10件．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元。(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大的利润？最大利润是多少元？5三、课堂练习1．已知二次函数bxay2)1(有最小值–1，则a与b之间的大小关系是（）A．a＜bB．a=bC．a＞bD．不能确定2．（长沙）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列关系式不正确的是（）A．a0B．abc0C．a+b+c0D．b2－4ac03．（2008，威海）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列结论中正确的是（）A．y1y2y3B．y2y1y3C．y3y1y2D．y1y3y24．如图所示，抛物线的函数表达式是（）A．y=x2－x+2B．y=－x2－x+2C．y=x2+x+2D．y=－x2+x+25．（，泰安）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图像可能是（）6．求下列函数的最大值或最小值．（1）xxy22；（2）1222xxy．7．已知二次函数mxxy62的最小值为1，求m的值．8．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：)300(436.21.02xxxy．y值越大，表示接受能力越强．（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？69．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式；（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？（3）能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．10．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G、H，且EG+FH=EF．（1）求线段EF的长；（2）设EG=x，⊿AGE与⊿CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值．11．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？12.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？13．如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？