考研数学历年真题(1987-1997)年数学二

-1-1997年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)（1）已知axxaxxosxxfx处连续，则，在，，0002_____________.（2）设则,11ln2xxy0xy_____________.（3）xxdx4_____________.（4）设0284xxdx_____________.（5）已知向量组)2,5,4,0(,0,0,21,12,132,1），（），（t的秩为2，则t=_____________.二、选择题1.设nxxxeex与时，tan,0是同阶无穷小，则n为（）（A）1（B）2（C）3（D）4(2)设在区间[,]ab上()0,()0,()0.fxfxfx记1231(),()(),[()()](),2baSfxdxSfbbaSfafbba则（）(A)123SSS(B)231SSS(C)312SSS(D)213SSS(3)已知函数xfy对一切x满足则若,00,1][3002xxfexfxxfxx（）(A)的极大值是xfxf0(B)的极小值是xfxf0(C)）的拐点（是，xfyxfx)(00(D)的拐点也不是曲线的极值，不是xfyxfxxfxf)(,000(4)设2sin()esin,xtxFxtdt则()Fx（）(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数（5）.设为则][,0,0,,0,20,22xfgxxxxxfxxxxxg（）（A）0,20,22xxxx（B）0,20,22xxxx-2-（C）0,20,22xxxx（D）0,20,22xxxx三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分）（1）求极限.sin114lim22xxxxxx（2）设52arctan2tetyytxxyy由所确定，求.dxdy（3）计算.)1(tan22dxxex（4）求微分方程0223222dyxyxdxyxyx的通解。（5）已知xxxxxxxeexeyexeyexey23221,,是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。（6）已知EEABAA其中，且,1110110012是三阶单位矩阵，求矩阵.B四、（本题满分8分）取何值时，方程组1554212321321321xxxxxxxxx无解，有惟一解或由无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解。五、（本题满分8分）设曲线L的极坐方程为LrMrr为,,上的任一点，LM为，020上一定点，若极径LOMOM与曲线、0所围成的曲边扇形面积值等于MML,0上两点间弧长值的一半，求曲线L的方程。六、（本题满分8分）设函数xf在闭区间[0,1]上连续，在开区间（0,1）内大于零，并满足，为常数axaxfxfx223又曲线0,1yxxfy与所围成的图形S的面积值为2，求函数xfy，并问a为何值时，图形xS绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。七、（本题满分8分）已知函数xf连续，且xxdtxtfxxxfx并讨论求，设,,2lim100的连续性八、（本题满分8分）就k的不同取值情况，确定方程kxxsin2在开区间），（2,0内根的个数，并证明你的结论。-3-1996年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)（1）设0x322y,)(则xexy_____________.（2）dxxx21121）（_____________.（3）微分方程的052yyy通解为_____________.（4）)11ln(sin)31ln(sinlimxxxx_____________.（5）由曲线22,1yxxxy及所围图形的面积S_____________.二、选择题1.设22)1(0xbxaxexx是比时，高阶的无穷小，则（）（A）1,21ba（B）1,1ba（C）1,21ba（D）1,1ba(2)设函数xf在区间），（内有定义，若当),(x时，恒有0,2xxxf则必是xf的（）(A)间断点(B)连续而不可导的点(C)可导的点，且0)0(f(D)可导的点，且00f(3)设)(xf处处可导，则（）(A)xfxfxxlim,lim必有当(B)xfxfxxlim,lim必有当(C)xfxfxxlim,lim必有当(D)xfxfxxlim,lim必有当(4)在区间0cos2141xxx）内，方程，（（）(A)无实根(B)有且仅有一个实根(C)有且仅有两个实根(D)有无穷多个实根（5）.设),()()()(],[)(),(xgymmxfxgbaxgxf，由曲线为常数上连续，且在区间bxaxxfy及),(所围平面图形绕直线my旋转体体积为（）（A）badxxgxfxgxfm)]()()][()(2[（B）badxxgxfxgxfm)]()()][()(2[（C）badxxgxfxgxfm)]()()][()([（D）badxxgxfxgxfm)]()()][()([三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分）-4-（1）计算.12102dxenx（2）求.sin1xdx（3）设,)]([,)(2202tfyduufxt其中)(uf具有二阶导数，且.,0)(22dxyduf求（4）求函数011)(xxxxf在点处带拉格朗日型余项n阶泰勒展开式。（5）求微分方程2xyy的通解。（6）设有一正椭圆柱体，其地面的长、短轴分别为ba22、，用过此柱体底面的短轴与底面成）角（20的平面截此柱体，得以锲形体（如图），求此锲形体的体积.V四、（本题满分8分）计算不定积分.)1(arctan22dxxxx五、（本题满分8分）设函数.2,1,1,1612,,21)(32xxxxxxxxf（1）写出)(xf的反函数)(xg的表达式；（2）)(xg是否由间断点、不可导点，若有，指出这些点。-5-六、（本题满分8分）设函数)(xyy由方程1222223xxyyy所确定，试求)(xyy的驻点，并判别它是否为极值点。七、（本题满分8分）设)(xf在区间],[ba上具有二阶导数，且,0)()(,0)()(bfafbfaf试证明：存在.0)(0)(,,ffbaba及），使（）和（八、（本题满分8分）设)(xf为连续函数，（1）求初值问题为正的常数；其中的解axyyxfayyx),(0),(0（2）若).1()(0)()(axeakxyxkkxf时，有，证明：当为常数-6-1995年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)（1）设yxxy则,1sin)cos(22_____________.（2）微分方程的通解为xyy2_____________.（3）曲线2132tytx处的切线方程为_____________.（4）)2211(lim222nnnnLnnnnn_____________.（5）由曲线22xexy的渐近方程为_____________.二、选择题1.设)()(xfxxf）内有定义，，）在（（和为连续函数，且)(,0)(xxf有间断点，则（）（A）必有间断点)]([xf（B）必有间断点2)]([x（C）必有间断点)]([xf（D）必有间断点）（)(xfx(2)曲线xxxxy与)2)(1(轴所围图形的面积可表示为（）(A)20)2)(1(dxxxx(B)2110)2)(1()2)(1(dxxxxdxxxx(C)2110)2)(1()2)(1(dxxxxdxxxx(D)20)2)(1(dxxxx(3)设)(xf在），（内可导，且对任意则时，都有当),()(,,212121xfxfxxxx（）(A)0)(,xfx对任意(B)0)(,xfx对任意(C)单调增加函数)(xf(D)单调增加函数)(xf(4)设函数)1()0()0()1()0()1(,0)(]1,0[)(ffffffxfxf或、、则上在的大小顺序是（）(A))0()1()0()1(ffff(B))0()0()1()1(ffff(C))0()1()0()1(ffff(D))0()1()0()1(ffff（5）.设处可导，则必有在若使）（可导，0)(|),sin|1)(()(xxFxxfxFxf（）（A）0)0(f（B）0)0(f（C）0)0()0(ff（D）0)0()0(ff-7-三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分）（1）求.)cos1(1lim0xxxosxx（2）设函数)(xyy由方程yyfexe)(确定，其中f具有二阶导数，且.122dxydf，求（3）设.)()],([,2ln)1(222dxxxfxxxf求且（4）设,0,0,0,1arctan)(2xxxxxf试讨论)(xf在0x处的连续性。（5）求摆线.20sincos1）的弧长一拱（tttytx（6）设单位质点在水平面内作直线运动，初速度,00vvt已知阻力与速度成正比（比例常数为1），问t为多少时此质点的速度为30v？并求到此时刻该质点所经过的路程。四、（本题满分8分）求函数dtetxftx20)2()(的最大值和最小值。五、（本题满分8分）设xyxpyxeyx)(是微分方程的一个解，求此微分方程满足条件021nxy的特解。-8-六、（本题满分8分）如图，设曲线L的方程为MPMTyxfy,,0),(又且分别为该曲线在点）（00,yxM处的切线和法线，已知线段MP的长度为))(),((1000002320xyyxyyyy其中）（试推导出点），（P的坐标表达式。七、（本题满分8分）设00.)(,sin)(dxxfdtttxfx计算八、（本题满分8分）设.)(,)(,1)(lim0xxfxfxxfx证明且-9-1994年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)（1）若axaxxexxfax）上连续，则，在（0,,0,12sin)(2_____________.（2）设函数)(xyy由参数方程2223),1(1dxydttytntx所确定，则_____________.（3）xdttfdxd3cos0)(_____________.（4）dxexx23_____________.（5）微分方程0)4(2dyx