梯度与方向导数

§8．7方向导数与梯度一、方向导数二、梯度方向导数与偏导数的关系、三元函数的方向导数梯度与方向导数、梯度的模、方向导数的最大值等高线、梯度与等高线的关系三元函数的梯度、等量面数量场与向量场、势与势场一、方向导数设函数zf(x，y)在点P(x，y)的某一邻域U(P)内有定义．自点P引射线l．设x轴正向到射线l的转角为j，并设P(xx，yy)为l上的另一点且PU(P)．若此极限存在，则称此极限为函数f(x，y)在点P沿方向l的方向导数，lf记作，即22)()(yx其中r．OxyPljPxyrr),(),(lim0yxfyyxxf考虑，lfrr),(),(lim0yxfyyxxf，rlf定理如果函数zf(x，y)在点P(x，y)是可微分的，那么函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在，且有方向导数与偏导数的关系：xfyf=cosjsinj，其中j为x轴到方向l的转角．)(royyfxxf简要证明：f(xx，yy)f(x，y)r),(),(yxfyyxxfrrrr)(oyyfxxflf定理如果函数zf(x，y)在点P(x，y)是可微分的，那么函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在，且有方向导数与偏导数的关系：xfyf=cosjsinj，其中j为x轴到方向l的转角．)(royyfxxf简要证明：f(xx，yy)f(x，y)r),(),(yxfyyxxfrrjj)(sincosoyfxflfrr),(),(lim0yxfyyxxfjjsincosyfxf讨论函数zf(x，y)在点P沿x轴正向和负向，沿y轴正向和负向的方向导数如何?讨论：根据公式lfxfyf=cosjsinj提示：沿x轴正向时，cosj1，sinj0，沿x轴负向时，cosj1，sinj0，xf；lfxfyf=cosjsinjxf．lfxfyf=cosjsinj，例1求函数zxe2y在点P(1，0)沿从点P(1，0)到点Q(2，1)的方向的方向导数．因此x轴到方向因为l的转角为j．4xzyze2y，2xe2y．故所求方向导数为在点(1，0)处，1，2．xzyzlz41·cos()2·sin()422．xyO-112PQPQ解这里方向l即向量{1，1}的方向，x轴到射线l的转角为j，rx轴到的转角为q，2讨论：jq和jq时的方向导数．xr22yxxrxyr22yxyry解因为sinq．cosq，lr所以cosqcosjsinqsinjcos(qj)．Oxylj例2设由原点到点(x，y)的向径为，rlr22yxr其中r||(r0)．求，qr(x,y)222)()()(zyx其中r，xrcosa，yrcosb，对于三元函数uf(x，y，z)，定义它在空间一点P(x，y，z)着方向(设方向的方向角为a、b、g)的方向导数如下lfrr),,(),,(lim0zyxfzzyyxxf，zrcosg．如果函数在所考虑的点处可微分，有xfyfzf=cosasinbcosg．lf三元函数的方向导数：二、梯度设函数zf(x，y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于任一点P(x，y)D及任一方向l，有称为函数f(x，y)在点P的梯度，记作gradf(x，y)，即gradf(x，y)lfxfyfcosjsinjxfyf{，}·{cosj，sinj}，其中向量xfiyfjxfiyfj．梯度与方向导数：lfxfyfcosjsinjxfyf{，}·{cosj，sinj}设cosjsinj是与l方向同方向的单位向量，则eijgradf(x，y)·eeyxf^),,(|gradf(x，y)|cos(grad)．函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值．讨论：已知方向导数为lf的最大值是什么？结论：梯度的模：|gradf(x，y)|22yfxf．lfxfyfcosjsinjeyxf^),,(|gradf(x，y)|cos(grad)．czyxfz),(曲面zf(x，y)上的曲线等高线：在xOy面上的投影曲线f(x，y)c称为函数zf(x，y)的等高线．xyyxffffdxdy)(11梯度与等高线的关系：等高线f(x，y)c上任一点P(x，y)处的法线的斜率为yxOgradf(x，y)fyfxgradf(x,y)法线的方向向量是什么？PyxOf(x，y)cf(x，y)c1(c1c)所以梯度+为等高线上点P处的法向量．xfiyfj函数zf(x，y)在点P(x，y)的梯度的方向与过点P的等高线f(x，y)c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数．这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向．xyyxffffdxdy)(11梯度与等高线的关系：等高线f(x，y)c上任一点P(x，y)处的法线的斜率为所以梯度+为等高线上点P处的法向量．xfiyfj三元函数的梯度：设函数uf(x，y，z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数，对于每一点P(x，y，z)G，函数uf(x，y，z)在该点的梯度gradf(x，y，z)定义为：结论：三元函数的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值．zfkgradf(x，y，z)++．xfiyfj等量面：曲面f(x，y，z)c为函数uf(x，y，z)的等量面．函数uf(x，y，z)在点P(x，y，z)的梯度的方向与过点P的等量面f(x，y，z)c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数．221yx例3求grad．221yx解这里f(x，y)．xfyf因为222)(2yxx，222)(2yxy，222)(2yxxi221yx所以grad222)(2yxyj．例4设f(x，y，z)x2y2z2，求gradf(1，1，2)．解gradf{fx，fy，fz}{2x，2y，2z}，于是gradf(1，1，2){2，2，4}．如果与点M相对应的是一个向量(M)，则称在这空间区域GF如果对于空间区域G内的任一点M，都有一个确定的数量f(M)，则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等)．一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定．数量场与向量场：内确定了一个向量场(例如力场、速度场等)．一个向量场可用一个向量函数(M)来确定，而F其中P(M)，Q(M)，R(M)是点M的数量函数．ijk(M)P(M)Q(M)R(M)，F利用场的概念，我们可以说向量函数gradf(M)确定了一个向量场——梯度场，它是由数量场f(M)产生的．通常称函数f(M)为这个向量场的势，而这个向量场又称为势场．必须注意，任意一个向量场不一定是势场，因为它不一定是某个数量函数的梯度场．势与势场：