相似三角形基本知识点及典型例题

1相似三角形一、知识点梳理★知识点一：比例线段1、比例：如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例，通常我们把dcba,,,四个实数成比例表示成：acbd或者a：b=c：d，期中b，c称为比例内项，a，d称为比例外项。acbd等式两边同乘以bd，可得ad=bc，反过来等式ad=bc同除以bd，可得acbd2、比例线段：在四条线段dcba,,,中，如果ba和的比等于dc和的比，即acbd，那么这四条线段dcba,,,叫做成比例线段，简称比例线段。3、比例中项：如果三个数a，b，c满足比例式abbc，那么b叫做a、c的比例中项，此时有2bac。4、黄金分割：如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使PBAPAPAB，那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，比值叫做黄金比。512长短＝＝全长≈0.6185、比例式变形：acabcdbdbd或aacbbd()()()abcdacdcbdbadbca，交换内项，交换外项．同时交换内外项例1、如果ab＝23，那么aa＋b＝＿＿＿＿＿。例2、若ab＝35，则a＋bb的值是()A、85B、35C、32D、58例3、若4x=5y,则x∶y＝.例4、若3x＝4y＝5z，则yzyx∶xxzy＝.例5、已知13yx＝7y，则yyx的值为.例6、如果x∶y∶z＝1∶3∶5，那么zyxzyx33＝例7、如果32ba，且3,2ba，那么51baba例8、如果2czbyax，那么cbazyx32322例9、已知cba=acb=bac＝x，求x★知识点二：相似三角形1、定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。两个等腰直角三角形一定相似。两个等边三角形一定相似。两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。★知识点三：相似三角形的判定1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）ABCDE12AABBCCDDEE12412ECABDEABC(D)EADCB(1)EABCD(3)DBCAE3(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。例1、如图，△ABC∽△AED,其中DE∥BC，写出对应边的比例式。例2、如图，已知△ABC∽△ADE，AE=50cm，EC=30cm，BC=70cm，∠BAC=45°，∠ACB=40°，求：1）∠AED和∠ADE的度数；2）DE的长。例3、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()例4、如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.例5、已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．例6、已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．求证：△DFE∽△ABC．BEACD124★知识点四：相似三角形的性质及其应用(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．例1、△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.例2、△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求.例3、如图，已知AB∥CD∥EF,AC=CE=EP,△PAB的面积为182cm，求四边形CDEF的面积。例4、如图，在△ABC在边中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC上，DE∥BC,DF∥AC.已知ADBD=23，ABCSaDFCE，求的面积。例5有一块三角形的余料ABC，它的边长BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上，问加工成的正方形零件的边长为多少mm？