高等数学课件--D81向量及运算

数量关系—第八章第一部分向量代数第二部分空间解析几何在三维空间中:空间形式—点,线,面基本方法—坐标法;向量法坐标,方程（组）空间解析几何与向量代数目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件四、利用坐标作向量的线性运算第一节一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影向量及其线性运算第八章目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件表示法:向量的模:向量的大小,,21MM记作一、向量的概念向量:(又称矢量).1M2M既有大小,又有方向的量称为向量自由向量:与起点无关的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1M2,或a,,a或.a或记作e或e.或a..00或，记作目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.bbabbacba)()(cbacbaabcbacb)(cbacba)(aababacba目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件s3a4a5a2a1a54321aaaaas目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件2.向量的减法三角不等式ab)(ab有时特别当,abaa)(aababaabababa0baba目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件可见aa1;1aa3.向量与数的乘法是一个数,规定:时，0,0时,0时总之:运算律:结合律分配律因此，同向与aa与a的乘积是一个新向量,记作.a;aa，反向与aa;aa.0aaa)(aa)(aa)(aaba)(ba,0a若ae则有单位向量.1aaaeaa目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件定理1.设a为非零向量,则(为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数的唯一性.则,0故.即a∥bab设a∥bba反向时取负号,,a,b同向时取正号则b与a同向,设又有b＝a,0)(aaabaab.ab故,0a而目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件“”则,0时当例1.设M为MBACD解:ABCD对角线的交点,,0时当ba,0时当,aAB,bDAACMC2MA2BDMD2MB2已知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b.,,,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件ⅦⅡⅢⅥxyzⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.•坐标原点•坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点O,•坐标面•卦限(八个)1.空间直角坐标系的基本概念ⅠO面xOy面yOz目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件在直角坐标系下xyz向径11坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组),,(zyx11)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR),,0(zyB(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);rOr)0,,(yxAM),0,(zxC目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件坐标轴:轴x00zy00xz轴y轴z00yx坐标面:xOy面0zyOz面0xzOx面0yxyzO目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M,),,(zyxM则沿三个坐标轴方向的分向量,),,(zyxxOyzMNBCA,,,,,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,任意向量r可用向径OM表示.NMONOMOCOBOA记,ixOA,jyOBrkzjyix称为向量,,kzOCkzjyixrikjr.,,的坐标称为向量rzyx目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件四、利用坐标作向量的线性运算则),,(zzyyxxbababa),,(zyxaaaxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数设),,,(zyxaaaa,),,(zyxbbbbbaa,0时当aabab目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件例2.求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×②,得)10,1,7(代入②得)16,2,11(ayx35byx23.211,212），，（），，（其中babax32)3(21bxy目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件例3.已知两点在AB所在直线上求一点M,使解:设M的坐标为,),,(zyx如图所示ABMo11AB,),,(111zyxA),,(222zyxB及实数,1得),,(zyx11),,(212121zzyyxx即.MBAMAMMBAMOAOMMBOMOBAOOM)(OMOBOMOBOA(M目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件说明:由得定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点M为AB的中点,于是得x,221xxy,221yyz221zz),,(zyx11),,(212121zzyyxxxyz中点公式:ABMoABM目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式222zyx则有222OROQOPxOyzMNQRP由勾股定理得),,(111zyxA因AB得两点间的距离公式:),,(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点与,),,(222zyxB,rOM作NMONBABAOAOBBA),,,(zyxr设OMrOMrOROQOP目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件例4.求证以)3,2,5(,)2,1,7(,)1,3,4(321MMM证:1M2M3M21MM2)47(2)31(2)12(1432MM2)75(2)12(2)23(631MM2)45(2)32(2)13(63132MMMM即321MMM为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件例5.在z轴上求与两点)7,1,4(A等距解:设该点为,),0,0(zM,BMAM因为2)4(212)7(z23252)2(z解得,914z故所求点为及)2,5,3(B.),0,0(914M思考:(1)如何求在xOy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?离的点.目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件(1)如何求在xOy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?)7,1,4(A)2,5,3(B提示:(1)设动点为,)0,,(yxM利用,BMAM得,028814yx(2)设动点为,),,(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z例6.已知两点),3,1,7()5,0,4(BA和解:141)2,1,3(142,141,143BABA求AB的单位向量e.e目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件Oyzx2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,OAB称=∠AOB(0≤≤)为向量的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.cos222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦.,aOA作,bOB,,baba,,0),,(zyxr给定r称),(ba记作),(ab或rxr目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件Oyzxrcos222zyxxcos222zyxycos222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质:)cos,cos,(cosrxryrzrrer:的单位向量向量r目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件例7.已知两点)2,2,2(1M和,)0,3,1(2M的模、方向余弦和方向角.解:,21,23)20计算向量)2,1,1(222)2(1)1(2,21cos,21cos22cos,3π2,3π4π321MM(21MM21MM目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件例8.设点A位于第一卦限,解:已知角依次为,,4π3π求点A的坐标.,4π,3π则222coscos1cos41因点A在第一卦限,故,21cos于是6,cos,coscos)3,23,3(故点A的坐标为.)3,23,3(向径OA与x轴y轴的夹,6AO且OA第二节OAeAO6,21,2221目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件uOuuaa)(Prj或记作M3.向量在轴上的投影第二节Oua则a在轴u上的投影为例如,),,(zyxaaaa在坐标轴上的投影分别为设a与u轴正向的夹角为,M,即cos)(aaucosazyxaaa,,投影的性质2)1)(为实数)MM目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件例9.第二节设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA,且,aOA求OA在OM方向上的投影.解:如图所示,记∠MOA=,cosAOMOMOA313a作业P123,5,13,14,15,18,19acosPrjOAOAOM目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件备用题解:因1.设求向量在x轴上的投影及在y轴上的分向量.13xa在y轴上的分向量为故在x轴上的投影为,853kjim,742kjinkjip45pnma34pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji15713jjay7目录上页下页返回结束11/22/2019同济版高等数学课件2.设求以向量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为11,3对角线的长为解：为边的平mnnm,|,|nm||nm)1,1,1(nm)1,3,1(nm3|nm11|nm,2kjn,jim