14.1.2直角三角形的判定

神奇的准绳把一根绳子打上等距的13个结，将绳子分成等长的12段,以3个结、4个结、5个结的长度为边长，可以围成一个三角形,其中一个角便是直角.能够成直角吗？1.直角三角形有哪些性质？(1)有一个角是直角；(2)两个锐角的和为90°(互余)；(3)两直角边的平方和等于斜边的平方.复习回顾(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；(2)有两个角的和为90°的三角形是直角三角形.3.如果一个三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形吗?2.一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?想一想???直角三角形的判定14.1.2思考（1）已知直角三角形的两直角边长分别为3,4，那么它的斜边长是多少？（2）3、4、5满足了怎样的关系？（3）是不是只有三边长为3、4、5的三角形才能构成直角三角形呢？一个三角形的三边满足怎样的条件才是直角三角形？这个三角形的斜边长是5.32+42=52动手画一画探究1分别以下列两组数据为三角形的边长，画出两个三角形.（单位：cm）（1）a＝6，b＝8，c＝10；（2）a＝5，b＝12，c＝13（3）a＝4，b＝6，c＝8；（4）a＝6，b＝7，c＝8．观察并说说三角形的形状.CNBAM6810CNBAM51213(1)(2)CNBAM468(3)CNBAM687(4)问题：（1）先计算、测量，再填表：项目三边的平方关系三角形类型（按角分类）三角形（1）三角形（2）三角形（3）三角形（4）222abc222abc222abc222abc==直角三角形直角三角形钝角三角形锐角三角形（2）请同学们认真观察思考上表中四个三角形的边长与它是否是直角三角形有什么关系？222abc若三边长满足，则该三角形是直角三角形.由以上例子,我们猜想:如果三角形的三边长a,b,c满足，那么这个三角形是直角三角形.222cba原命题逆命题如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么.222cba如果三角形的三边长a,b,c满足那么这个三角形是直角三角形.,222cba互逆命题1命题2题设：结论:题设：结论:如果直角三角形的两直角边长为a、b,斜边长为c.那么.222cba如果三角形的三边长a,b,c满足那么这个三角形是直角三角形..222cba勾股定理探究2证明命题2已知：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a2+b2=c2,求证：△ABC为直角三角形.cabBCAFabED②在该角的两直角边上分别截取a,b；分析：①作一个直角;④证明△ABC≌△DEF.(可推出∠C=∠F=90°)③作△DEF且∠F=90°;逆命题如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么.222cba如果三角形的三边长a,b,c满足那么这个三角形是直角三角形.,222cba互逆命题1命题2题设：结论:题设：结论:如果直角三角形的两直角边长为a、b,斜边长为c.那么.222cba如果三角形的三边长a,b,c满足那么这个三角形是直角三角形..222cba勾股定理勾股定理的逆定理（以形得数）（以数得形）数形结合,222cba如果三角形的三边长a,b,c满足那么这个三角形是直角三角形.几何表述语言：∵△ABC的三边长a,b,c满足∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°.,222cbacabBCA应用举例分析：根据勾股定理的逆定理,判断一个三角形是不是直角三角形,只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可.【例1】判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形?(1)a=15，b=17，c=8;(2)a=13，b=15，c=14解:(1)最长边为17∵a2+c2=152+82=225+64=289，b2=172=289，∴a2+c2=b2。∴以15,17,8为边长的三角形是直角三角形.∵a2+c2=132+142=169+196=365，b2=152=225，∴a2+c2≠b2∴以13,15,14为边长的三角形不是直角三角形.解:(2)最长边为15判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形？如果是，哪个角是直角？(2)a＝4,b＝5,c＝7；(1)a＝15,b＝20,c＝25;(3)a＝7,b＝25,c＝24；(4)a＝1.5,b＝0.9,c＝1.2；(5)a＝4,b＝8,c＝10；是∠C=90°不是是∠B=90°是∠A=90°不是(6).213c6,b,25a是∠C=90°判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形？如果是，哪个角是直角？(1)a＝15,b＝20,c＝25;(3)a＝7,b＝25,c＝24；是∠C=90°是∠B=90°是∠A=90°(4)a＝1.5,b＝0.9,c＝1.2；(6).25c2,b,23a是∠C=90°判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形？如果是，哪个角是直角？(1)a＝15,b＝20,c＝25;(3)a＝7,b＝25,c＝24；是∠C=90°是∠B=90°像这样能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数.①3，4，5；②2.5，6，6.5；③4，8.5，7.5.【例2】如果一个三角形的三边长分别为a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2（mn)，证明这个三角形是直角三角形.解：∵a2+b2=（m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2∴a2+b2=c2，∴∠C=90°.∴这个三角形是直角三角形.【分析】所给四边形是不规则图形，无面积公式，需转化为规则图形计算.又知∠ABC＝90°，且四条边长已知，不妨连结AC，构成两个三角形，分别求面积.例3已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝13，CD＝12.求：四边形ABCD的面积.341213ABCD例3已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝13，CD＝12.求：四边形ABCD的面积.341213ABCD∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝36.【解】连结AC．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5.在△ACD中，AC＝5，CD＝12，AD＝13∵AC2＋CD2＝25＋144＝169，AD2＝132＝169，∴AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形.∴S△ABC＝AB·BC＝×3×4＝6，S△ACD＝AC·CD＝×5×12＝30.ABBC2212121212思考（1）勾股定理与勾股定理的逆定理的区别和联系？联系：勾股定理与其逆定理的条件和结论正好相反，都与直角三角形有关.区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理.(2)到目前为止，判定直角三角形的方法有哪些？①有一个角是直角的三角形是直角三角形；②有两个角的和为90°的三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理.运用勾股定理逆定理的步骤有哪些？（1）首先确定最大边（如c）.（2）验证：c2与a2+b2是否具有相等关系.若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形.若c2≠a2+b2，则△ABC不是直角三角形.勾股数满足a2+b2=c2的三个正整数，称为一组勾股数.如：3、4、5；5、12、13…B)(,2)(22则此三角形是满足条件、、三角形三边长abcbacbaA、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等边三角形1.练一练一、选择题2．在已知下列三组长度的线段中，不能构成直角三角形的是()(A)5、12、13(B)2、3、(C)4、7、5(D)1、、523C3．以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）．A．B．7，24，25C．4，7.5，8.5D．3.5，4.5，5.522,13,13（4）将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是()A.是直角三角形;B.可能是锐角三角形;C.可能是钝角三角形;D.不可能是直角三角形.（5）如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可能是()A.3:4:7;B.5:12:13;C.1:2:4;D.1:3:5.二、填空题：(1)直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于cm.(2)已知两条线段的长为3cm和4cm,当第三条线段的长为cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.(3)△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC边上的高AD=cm；AB边上的高CE=cm（4）请完成以下未完成的勾股数：（1）8、15、_______；（2）10、26、_____．（5）△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边上的高是_______．（7）如图，两个正方形的面积分别为64，49，则AC=.ADC644917（6）如果△ABC的三边分别为a、b、c且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，则△ABC的形状是_______。(8)已知∆ABC中BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为_______三角形,______是最大角.直角∠A（10）在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是高,AB=1,则2CD2+AD2+BD2=＿＿＿＿;（11）三角形的三边长a,b,c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,此三角形为＿＿＿＿＿三角形.(9)以∆ABC的三条边为边长向外作正方形,依次得到的面积是25,144,169,则这个三角形是______三角形.直角2、如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。ABC341312D24平方米32CD=cm,AD=2cm,AC⊥AB。3、已知：在四边形ABCD中，AB=3cm,BC=5cm,DCBADC=3.52cmAD=2.03cmBC=5.08cmCA=4.11cmAB=3.00cm求：S四边形ABCD