第十章--滑移线理论及应用

第10章滑移线理论及应用7.1滑移线基本概念7.2滑移线的沿线力学方程——汉盖应力方程7.3滑移线的几何性质7.4应力边界条件7.5滑移线场的建立7.6滑移线应用塑性变形体内各点最大剪应力的轨迹称为滑移线。由于最大剪应力成对正交，因此，滑移线在变形体内成两族正交的线网，组成所谓滑移线场。滑移线法是求解理想刚塑性材料的平面应变问题的精确理论。根据变形过程，建立滑移场求解塑性成性问题（应力分布、变形力、分析变形和毛坯的外性尺寸）10.1滑移线基本概念G20;)(21E10G20;)(21E1G2;)(21E1zyxyzxzzxyyxyxyzyxx)(21xyzzyxyxzyx)(21)(31)(31m一、平面变形应力状态的特点平面变形：某一方向相关的应变为零，即变形仅发生在一个坐标平面内。由万能胡克定律：得：平均应力为：p)(21)(31213321mp称为静水压力一、平面变形应力状态的特点kcos2ksin2pksin2ksin2pksin2xymymx因主应力状态有ω=±π/4：k--pkpk-pkm3m2m1ω为最大切应力τmax方向与坐标ox轴的夹角。2231max]2/)[(2/)(xyyx二、最大切应力轨迹线-滑移线形成对于理想刚塑材料，材料的屈服切应力k为常数。在x-y坐标平面上任取一点P1，平面塑性变形时，最大切应力成对出现，并相交。三、滑移线和ω角规定α与β滑移线规定设α与β线构成右手坐标系，设代数值最大的主应力σ1作用线在第一与三象限，则：α线两侧最大切应力顺时针方向。β线两侧最大切应力逆时针方向。或：σ1方向顺时针转45°得到α线由σ1的方位线顺时针转45°到达的滑移线称α线，而由σ3线的方位线顺时针转45°到达的滑移线称为β线。α线与β的方向按右旋规则人为规定，即又α线的正向逆时针转过90°达到β线的正向。ω角规定ω角是α线在任意点P的切线正方向与ox轴的夹角。ox轴正向逆时针旋转为正ω角，顺时针旋转为负ω角σ1＞σ3金属向力大方向流动顺时针方向切应力对应α线四、滑移线微分方程滑移线的微分方程为对α线对β线tgdxdyctg)2(tg'tgdxdy10.2滑移线的沿线力学方程——汉盖应力方程kcos2ksin2pksin2ksin2pksin2xymymx0yxyxx0yxyxy代入平面应变问题的微分平衡方程0ycos2xsin22kx0ysin2xcos22kxmmω=0,dx=dsα,dy=dsβ取滑移线本身作为坐标轴，设为轴a和β轴。这样，滑移线场中任何一点的位置，可用坐标值a和β表示。当沿着a坐标轴从一点移动到另一点时，坐标值β不变，当然沿着坐标轴β从一点移动到另一点时，坐标轴a也不变。将xy坐标原点置于两条滑移线的交点a上，并使坐标轴x、y分别与滑移线的切线x`、y`重合。在离a点无限邻近处，坐标轴a和β的微分弧可认为与切线重合，故有：当沿族a（或β族）中同一条滑移线移动时，任意函数ξ（或η）为常数，只有从一条滑移线转到另一条时，ξ（或η）值才改变。0s2ks0s2ksmm线）（沿线）（沿2k2kmm10.3滑移线的基本性质一、沿线特性同一条α滑移线上，任取两点a，b，由同理2kmbmbama2k2kbambma2kbmbama2k2kbambma2k得：即：若该滑移线为β线结论1：同一滑移线平均应力σm变化与ω角变化成正比。沿α线沿β线具有重要的意义，它指出了滑移线上平均应力的变化规律。当滑移线的转角越大时，平均应力的变化越大。若滑移线为直线，即转角为零，则各点的平均应力相等。2k2kmm结论2：若滑移线场确定，只要知道任一点的平均应力，其余节点的平均应力即可求得。汉基第一定理汉盖第一定理：同一族滑移线与另一族滑移线相交，在两交点处的切线间夹角∆ω与平均应力变化∆σm均为常数。constconstmdcbmadcba2,12,21,11,22,12,21,11,2mmmmm对于图中的节点(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)有：＝常数＝常数在同一族（例如a族）的两条滑移线（例如a1和a2线）与另一族（例如β族）的任一条滑移线（例如β1和β2线）的两个交点上，其切线夹角△ω与平均应力的变化△σm均保持常数，如下图所示:线）（沿线）（沿2k2kmm)(41)(21mK→)(2111m1,1)(41111,1K)(2112m2,1)(2121m1,2)(2122m2,2)(41211,2K)(41122,1K)(41222,2K→2,12,21,11,22,12,21,11,2mmmmm＝常数＝常数汉基第二定理沿一族的某一滑移线移动，则另一族滑移线在与该滑移线交点处的曲率的变化，等于沿该线移动所经过的距离，即SRSR；SS其中（或线被相邻两条β（或α）线所截的微分弧长（见下图所示））是α（或β）10.4应力边界条件和滑移线场的绘制应力边界条件1）自由表面2）光滑（无摩擦）接触表面3）摩擦切应力为最大值的接触表面4）摩擦切应力为中间值的接触表面1）自由表面自由表面：表面上无应力作用，即：σn=0，单元体应力状态（1）σ1=2K；σ3=0（2）σ1=0，σ3=-2K0kcos2xy2）光滑（无摩擦）接触表面光滑接触表面：接触表面无摩擦，即τ=0通常在塑性加工中，施加压力，且：σn=σ3。3）摩擦切应力为最大值的接触表面摩擦切应力为最大值的接触表面：τ=K4）摩擦切应力为中间值的接触表面0τKσn≠010.5滑移线场的建立方法一、常见的滑移线场1.均匀场特点：1）σma=σmb=σmc=…；2）ωma=ωmb=ωmc=…。为常数xyyxm,,,2.简单场特点：1）一簇滑移线为直线；2）另一簇则与直线正交的曲线。3．均匀场与简单场的组合与均匀场相邻的区域，滑移线场必定是简单场，因为其中有一族滑移线只能是由直线所组成。4．由两族互相正交的光滑曲线构成的滑移线场1)圆形界面为自由表面或作用均布法向应力，滑移线场为正交的对数螺旋线网。2)粗糙刚性的平行板间压缩，在接触面上摩擦切应力达到最大值K的那—段塑性变形区，滑移线场为正交的圆摆线。3)两个等半径圆弧所构成的滑移线场，或称扩展的有心扇形场。10.6滑移线应用冲头压入半无限体(半无限体是指加工件的宽度比冲头的宽度大得多。由于冲头的长度比宽度大得多，可以认为是平面塑性应变状态。这类问题用工程法是无法解决的，而用滑移线法求解却十分方便。)步骤：1.根据受力条件画出滑移线场，确定α和β。AD为自由表面，AO为光滑受力面，ADC和AOB为均匀滑移线场，ABC与均匀场相邻，为简单滑移线场2.根据受力条件确定σx和σyAD面：σy=0，σx＜0AO面：σy＜σx＜0αβαβ3.屈服准则确定σm：σ1-σ3=2Kσm=（σ1+σ3）/2AD面：σy=0，σx=-2K，σmF=-K。AO面：σy=-p，σx=2K-p，σmE=K-pADCx0α4.确定ω角ADC场：ωF=π/4，AOB场：ωE=-π/45.由汉基方程求平均压力：σmF-2KωF=σmE-2KωEK-2K×π/4=K-p＋2K×π/4P=2K×(1+π/2)AEx0α2．图二所示的一尖角为2的冲头在外力作用下插入具有相同角度的缺口的刚塑性体中，接触表面上的摩擦力忽略不计，其接触面上的单位压力为p，自由表面ABC与X轴的夹角为。求：(1)证明接触面上的单位应力p=2K（1++）；(2)假定冲头的宽度为2b，求变形抗力P；证明：在AC边界上：KKmCxyC)(212043131在AO边界上：)p(p,0,43xyO取正值31K231pK)(21K2p31mo1根据变形情况：按屈服准则：)1(2220KpKKcmcmo则：沿族的一条滑移（OFEB）为常数sinbL)1(4)1(2sinsin2sin2bKKbLpP设AO的长度为L，变形抗力3．图所示的一平冲头在外力作用下压入两边为斜面的刚塑性体中，接触表面上的摩擦力忽略不计，其接触面上的单位压力为q，自由表面AH、BE与X轴的夹角为γ，求：1）证明接触面上的单位应力q=K（2++22）假定冲头的宽度为2b，求单位厚度的变形抗力P；）；证明：在AH边界上：04xyyAH0y1x32K231mH31K)(21,K221mH3故，屈服准则：得：)q(q,0,43yxyAO取正值yxK2yxqKKqKyxmoyx)(2122在AO边界上：根据变形情况：按屈服准则：)22()4(24322200KqKKKqKKKHmHm)22(22bKbqP沿族的一条滑移（OA1A2A3A4）为常数单位厚度的变形抗力：思考题如附图所示的滑移线场，线为直线，线为同心圆弧线。已知pc=-90MPa,k=60MPa。试求：C点、E点的、、xyxy