《高等数学》4.1-不定积分的概念与性质

上页下页结束返回首页第四章微分法:)?()(xF积分法:)()?(xf互逆运算不定积分上页下页结束返回首页§4.1不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念基本积分公式不定积分的性质上页下页结束返回首页例xxcossinxsin是xcos的原函数.)0(1lnxxxxln是x1在区间),0(内的原函数.如果在区间I内，定义：Ix，都有)()(xfxF或dxxfxdF)()(，那么函数)(xF就称为)(xf或dxxf)(在区间I内原函数.一、原函数与不定积分的概念上页下页结束返回首页问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理1.存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数原函数存在定理：连续函数一定有原函数.上页下页结束返回首页原函数存在定理：连续函数一定有原函数.注意：(1)原函数不唯一;例xxcossinxCxcossin(2)原函数之间的关系:CxfxF则对任意常数若),()(CxF)(都是)(xf的原函数.若和都是的原函数，)(xF)(xG)(xf.)()(CxGxF则上页下页结束返回首页不定积分的几何意义:的原函数的图形称为xxfd)(的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.yxo0x的积分曲线.上页下页结束返回首页任意常数积分号被积函数不定积分的定义：在区间I内，CxFdxxf)()(被积表达式积分变量设函数F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的全体原函数F(x)+C称为f(x)的不定积分dxxf)(上页下页结束返回首页例1求.5dxx解,656xx.665Cxdxx解例2求.112dxx,11arctan2xx.arctan112Cxdxx上页下页结束返回首页例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为),(xfy根据题意知,2xdxdy即)(xf是x2的一个原函数.,22Cxxdx,)(2Cxxf由曲线通过点（1，2）,1C所求曲线方程为.12xy上页下页结束返回首页注:1)求导数与求不定积分是互逆运算CxFxdFdxxfdxxfdCxFdxxFxfdxxf)()(;)(])([)()(;)(])([或2)同一函数的不定积分的结果形式会不同CarcctgxdxxCarctgxdxx2211;11可用求导数的方法验证正确性.上页下页结束返回首页实例xx11.11Cxdxx积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.)1(二、基本积分表上页下页结束返回首页基本积分表kCkxkdx()1(是常数););1(1)2(1Cxdxx;ln)3(Cxxdx说明：,0x,lnCxxdx])[ln(,0xx,1)(1xxx,)ln(Cxxdx,||lnCxxdx简写为.lnCxxdx上页下页结束返回首页dxx211)4(;arctanCxdxx211)5(;arcsinCxxdxcos)6(;sinCxxdxsin)7(;cosCxxdx2cos)8(xdx2sec;tanCxxdx2sin)9(xdx2csc;cotCx上页下页结束返回首页xdxxtansec)10(;secCxxdxxcotcsc)11(;cscCxdxex)12(;Cexdxax)13(;lnCaaxxdxsinh)14(;coshCxxdxcosh)15(;sinhCx上页下页结束返回首页例4求积分.2dxxx解dxxx2dxx25Cx125125.7227Cx根据积分公式（2）Cxdxx11上页下页结束返回首页dxxgxf)]()([)1(;)()(dxxgdxxf证dxxgdxxf)()(dxxgdxxf)()().()(xgxf等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的性质上页下页结束返回首页.)()(dxxfkdxxkf,00)(00dxCdxk，任意常数时，注意：当dxxkf)()2(.)(dxxfk（k是常数，)0k证])([])([dxxfkdxxfk),(xkf.00dxdx上页下页结束返回首页例5求积分解.)1213(22dxxxdxxx)1213(22dxxdxx22112113xarctan3xarcsin2C说明：被积函数需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.分项积分上页下页结束返回首页例6求积分解.)1(122dxxxxxdxxxxx)1(122dxxxxx)1()1(22dxxx1112dxxdxx1112.lnarctanCxx分项积分上页下页结束返回首页解：原式dxxx24111dxxx)111(22cxxxarctan33例7：求dxxx241加项减项上页下页结束返回首页例8求积分解.2cos11dxxdxx2cos11dxx1cos2112dxx2cos121.21Ctgx例9：求dxxxx22sincos2cosdxxxxx2222sincossincos解：原式dxxdxx22cos1sin1ctgxctgx三角公式三角公式上页下页结束返回首页例10求积分.sincos22xxdxxxdx22sincos解dxxxxx2222sincossincosdxxx)sec(csc22.tancotCxx利用三角公式上页下页结束返回首页内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表(见P186)2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质上页下页结束返回首页思考与练习1.证明2.若d)(ln2xxfx(P191题4)提示:xexeln)(lnxfx1Cx221提示:上页下页结束返回首页3.若是xe的原函数,则xxxfd)(ln提示:已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10上页下页结束返回首页4.若;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为则的一个原函数是().;cos1)(xC.cos1)(xD提示:已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)(??或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21sinCxCx上页下页结束返回首页5.求下列积分:提示:)1(1)1(1)1(2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x上页下页结束返回首页6.求不定积分解：)1(2xxee上页下页结束返回首页7.已知22221d1d1xxBxxAxxx求A,B.解:等式两边对x求导,得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA120ABA2121BA上页下页结束返回首页作业P1901(5),(12),(14),(20),(23),(25),(26);2;3上页下页结束返回首页思考题符号函数0,10,00,1sgn)(xxxxxf在内是否存在原函数？为什么？),(上页下页结束返回首页思考题解答不存在.假设有原函数)(xF0,0,0,)(xCxxCxCxxF但)(xF在0x处不可微，故假设错误所以在内不存在原函数.),()(xf结论每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.