有关中值定理的证明题

中值定理证明题集锦1、已知函数()fx具有二阶导数，且0()lim0xfxx，(1)0f，试证：在区间(0,1)内至少存在一点，使得()0.f证：由0()lim0xfxx，可得0lim()0xfx，由连续性得(0)0f，由此又得00()(0)()(0)limlim00xxfxffxfxx，由(0)(1)0ff及题设条件知()fx在[0,1]上满足罗尔中值定理条件，因此至少存在一点(0,1)c，使得()0fc，又因为(0)()0ffc，并由题设条件知()fx在[0,]c上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知，在区间(0,1)内至少存在一点，使得()0.f2、设()fx在[0,]a上连续，在(0,)a内可导，且()0fa，证明：存在一点(0,)a，使得()()0.ff证：分析：要证结论即为：[()]0.xxfx令()()Fxxfx，则()Fx在[0,]a上连续，在(0,)a内可导，且(0)()0FFa，因此()()Fxxfx在[0,]a上满足罗尔中值定理的条件，故存在一点(0,)a，使得()0F，即()()0.ff注1：此题可改为：设()fx在[0,]a上连续，在(0,)a内可导，且()0fa，证明：存在一点(0,)a，使得()()0.nff分析：要证结论()()0nff等价于1()()0nnnff（给()()0nff两端同乘以1n），而1()()0nnnff即为[()]0.nxxfx故令()()nFxxfx，则()Fx在[0,]a上满足罗尔中值定理的条件，由此可证结论.注2：此题与下面例题情况亦类似：设()fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f，(0,1)x，有()0fx，证：nN，(0,1)，使得()(1)()(1)nffff成立.分析：要证结论可变形为()(1)()(1)0nffff，它等价于1()()(1)()(1)0nnnfffff(给()(1)()(1)0nffff两端同乘以1()nf)，而1()()(1)()(1)0nnnfffff即为[()(1)]0nxfxfx，用罗尔中值定理.以上三题是同类型题.3、已知函数()fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0ff，1()12f，证明：（1）存在一点1(,1)2，使().f（2）存在一点(0,)，使()1.f（3）存在一点0(0,)x，使000()1(()).fxfxx证：（1）分析：要证结论即为：()0.f令()()Fxfxx，则只需证明()Fx在1(,1)2内有零点即可。显然()Fx在1[,1]2上连续，且1111()()02222Ff，(1)(1)110Ff，因此()Fx在1[,1]2上满足零点定理的条件，由零点定理知，存在1(,1)2，使()0F，即().f（2）又因为(0)(0)00Ff，由(1)知()0F，因此()Fx在[0,]上满足罗尔中值定理条件，故存在一点(0,)，使()0F，即()10f，即()1.f（3）分析：结论000()1(())fxfxx即就是00()()FxFx或00()()0FxFx，00000()()0[()()]0xFxFxeFxFx，即0[()]0xxxeFx.故令()()xGxeFx，则由题设条件知，()Gx在[0,]上连续，在(0,)内可导，且0(0)(0)0GeF，()()0GeF,则()Gx在[0,]上满足罗尔中值定理条件，命题得证.4、设()fx在[0,]x上可导，且(0)0f，试证：至少存在一点(0,)x，使得()(1)ln(1)().fxxf证：分析：要证结论即为：()(0)(1)[ln(1)ln1]()fxfxf,也就是()(0)()1ln(1)ln11fxffx，因此只需对函数()ft和ln(1)t在区间[0,]x上应用柯西中值定理即可.5、设()fx、()gx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，()()0fafb，且()0gx，证明：至少存在一点(,)ab，使得()()()().fgfg证：分析：要证结论即为：()()()()0fgfg,等价于2()()()()0()fgfgg，即就是()[]0()xfxgx，因此只需验证函数()()()fxFxgx在区间[,]ab上应用罗尔中值定理即可.6、设()fx在12[,]xx上可导，且120xx，试证：至少存在一点12(,)xx，使得122112()()()().xfxxfxffxx证：分析：要证结论即为：212121()()()()()()111()xxfxfxfxxxxffxxx,因此只需对函数()fxx和1x在区间12[,]xx上应用柯西中值定理即可.此题亦可改为：设()fx在[,]ab上连续，(,)ab内可导，若0ab，试证：至少存在一点(,)ab，使得()()[()()]().afbbfaffab7、设()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，且()()0fafb，试证：（1）(,)ab，使得()()0ff；（2）(,)ab，使得()()0.ff证:（1）令()()Fxxfx，利用罗尔中值定理即证结论.（2）分析：2222()()0[()()]0[()]0xxffeffefx，因此令22()()xFxefx，利用罗尔中值定理即证结论.8、设()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，且()()1fafb，试证：,(,)ab，使得[()()]1.eff证：分析：要证结论即为[()()]1effe，即就是[()]1()xxxxefxe.令()()xFxefx，令()xGxe，则()Fx和()Gx在[,]ab上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知：(,)ab，使得()()()baefbefaFba，即就是[()()].baeeeffba(,)ab，使得()baeeFba，即就是.baeeeba因此，有[()()]1effe，即就是[()()]1.eff9、设()fx、()gx在[,]ab上连续，在(,)ab内具有二阶导数且存在相等的最大值，()()faga，()()fbgb，试证：(,)ab，使得()().fg证：分析：要证结论即为[()()]0xfxgx.令()()()Fxfxgx，（1）若()fx、()gx在(,)ab内的同一点处取得相同的最大值，不妨设都在c点处取得最大值，则()()()0()FaFcFbacb，则()Fx分别在[,]ac、[,]cb上满足罗尔中值定理条件，故1(,)ac，2(,)cb使得1()0F，2()0.F由题设又知，()Fx在12[,]上满足洛尔定理条件，故存在12(,)，使得()0F，即就是()()].fg（2）若()fx、()gx在(,)ab内的不同的点处取得相同的最大值，不妨设()fx在p点处、()gx在q点处取得最大值，且pq，则()()()0Fpfpgp，()()()0Fqfqgq，由零点定理知，(,)(0,1)cpq，使得()0Fc，由此得()()()0()FaFcFbacb，后面证明与（1）相同.10、设()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，且()0fx，若极限(2)limxafxaxa存在，试证：（1）存在一点(,)ab，使得222()()babaffxdx；（2）在(,)ab内存在异于的点，使得222()()().bafbafxdxa；证：（1）令()()xaFxftdt，2()Gxx，则()Fx、()Gx在[,]ab上满足柯西中值定理条件，故存在一点(,)ab，使得222()()()baaabafftdtftdt成立，即就是222()()babaffxdx成立，即就是222()()()bafxdxbaf成立.（2）由（1）知，222()()()bafxdxbaf，因此要证222()()().bafbafxdxa，即要证22221()()()()fbabafa，即要证()()()faf，由已知(2)limxafxaxa可得，lim(2)0xafxa，从而得()0fa，因此要证()()()faf，即要证()()()()faffa，显然只需验证()fx在[,]a上满足拉格朗日中值定理条件即可。