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第3讲应用问题中的“瓶颈题”数学应用问题是高考中常见题型之一,是能否锁定128分的重要突破口.常见的应用题有:(1)函数与不等式模型;(2)函数与导数模型;(3)三角函数模型;(4)数列模型.解决实际问题的一般步骤:(1)阅读题目,理解题意;(2)设置变量,建立函数关系;(3)应用函数知识或数学方法解决问题;(4)检验,作答.解应用题的一般思路可表示如下:分类解密———专题突破函数与不等式模型的应用题例1某工厂有工人214名,现要生产1500件产品,每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成,每个工人加工5个A型零件与加工3个B型零件所需的时间相同.现将工人分成两组,分别加工一种零件,同时开始加工.设加工A型零件的工人有x人,在单位时间里每一个工人加工A型零件5k件,加工完A型零件所需时间为g(x),加工完B型零件所需时间为h(x).(1)比较g(x)与h(x)的大小,并写出完成总任务的时间f(x)的解析式;(2)应怎样分组,才能使完成任务用时最少?练习如图,已知矩形油画的长为a,宽为b.在该矩形油画的四边镶金箔,四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕,制成一幅矩形壁画.设壁画左右两边金箔的宽为x,上下两边金箔的宽为y,壁画的总面积为S.(1)用x,y,a,b表示S;(2)若S为定值,为节约金箔用量,应使四个矩形木雕的总面积最大,求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x,y的值.(练习)函数与导数模型的应用题例1某建筑公司要在一块如图所示的矩形地面上进行开发建设,阴影部分为一公共设施,不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f(x)=1-ax2(a0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M,N,交曲线于点P,设P(t,f(t)).(1)将△OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t);(2)若在t=12处,S(t)取得最小值,求此时a的值及S(t)的最小值.(例1)练习在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30m的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v(米/单位时间),单位时间内用氧量为cv2(c为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为2v(米/单位时间),单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y.(1)求出y关于v的函数解析式;(2)设0v≤5,试确定下潜速度v,使总的用氧量最少.三角形与三角函数模型例1如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花,若BC=a,∠ABC=θ,设△ABC的面积为S1,正方形PQRS的面积为S2.(1)用a,θ表示S1和S2;(2)当a固定,θ变化时,求12SS的最小值.(例1)练习(2014·淮安中学)如图所示,某市政府决定在以政府大楼O为中心,正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地,并考虑与周边环境协调,设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上,图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM=R,∠MOP=45°,OB与OM之间的夹角为θ.(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数.(2)求当矩形ABCD的面积S最大时,θ的值,并求最大值.(用含R的式子表示)(练习)解析几何模型例1一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西80km处,受影响的范围是半径长为r(r0)km的圆形区域.轮船的航行方向为西偏北45°且不改变航线,假设台风中心不移动.(1)r在什么范围内,轮船在航行途中不会受到台风的影响?(2)当r=60时,轮船在航行途中受到影响的航程是多少千米?练习(2014·江苏卷)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直,保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=43.(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?(练习)数列模型例1商学院为推进后勤社会化改革,与桃园新区商定:由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳1000人的学生公寓,工程于2012年年初动工,年底竣工并交付使用,公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款(年利率5%,按复利计算),公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元.其余部分全部在年底还建行贷款.(1)若公寓收费标准定为每名学生每年800元,问:到哪一年可还清建行全部贷款?(2)若公寓管理处要在2020年底把贷款全部还清,则每名学生每年的最低收费标准是多少元?(精确到元,参考数据:lg1.7343=0.2391,lg1.05=0.0212,1.058=1.4774)练习某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第x个月的利润函数f(x)=**1,120,N,1,2160,N10xxxxx(单位:万元).为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中.记第x个月的利润率为g(x)=xx第个月的利润第个月的资金总和,例如,g(3)=(3)81(1)(2)fff.(1)求g(10);(2)求第x个月的当月利润率;(3)该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大?并求出该月的当月利润率.立体几何体模型例1某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:m),其中容器的中间为圆柱形,高为l,左右两端均为半球形,半径为r,按照设计要求容器的体积为80π3m3,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)求y关于r的函数解析式,并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时半径r的值.(例1)【归纳提升】常见应用问题与数学模型及其处理:1.优化问题:实际问题中的“优选”、“控制”等问题,常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决.2.预测问题:经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.3.最(极)值问题:工农业生产、建设及实际生活中的极限问题,常设计成“函数模型”,转化为求函数的最值.4.等量关系问题:建立“方程模型”解决.5.测量问题:可设计成“图形模型”利用几何知识解决.总之,解应用题关键是将文字语言翻译成数学语言,常借助画图法抽象成数学问题,并注意解模后的验证.【评价反馈】1.某医药研究所开发了一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25μg时,治疗有效,则服药一次后治疗有效的时间是多长?(第1题)2.(2014·苏州暑假调查)如图,某自来水公司要在公路两侧放置排水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线l1排,在路南侧沿直线l2排,现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通.已知AB=60m,BC=80m,公路两侧排管费用为每米1万元,穿过公路的部分的排管费用为每米2万元,设EF与AB所成的小于90°的角为α.(1)求矩形区域ABCD内的排管费用W关于α的函数关系式;(2)求排管的最小费用及相应的角α.(第2题)3.某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用,计划第一年维修、保养费用为12万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元.该机床使用后,每年的总收入为50万元,设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.(1)写出y与x之间的函数关系式;(2)从第几年开始,该机床开始盈利(盈利额为正值)?(3)使用若干年后,对机床的处理方案有两种:①当年平均盈利额达到最大值时,以30万元价格处理该机床;②当盈利额达到最大值时,以12万元价格处理该机床.问:用哪种方案处理较为合算?请说明你的理由.4.假设某市2011年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.(1)到哪一年底该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?5.某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a(1≤a≤3)元的管理费,预计当每件商品的售价为x(7≤x≤9)元时,一年的销售量为(10-x)2万件.(1)求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x);(2)当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大,并求出L的最大值.6.某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔,如图所示,塔高BC=80m,塔所在的山高OB=220m,OA=200m,图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上,与水平地面的夹角为α,tanα=12.试问此人距水平地面多高时,观看塔的视角∠BPC最大?(不计此人的身高)(第6题)第3讲应用问题中的“瓶颈题”考点1函数与不等式模型的应用题【例1】【分析】根据题设条件分别求出g(x)和h(x),然后通过作差找出分界点,得到一个分段函数.【解答】由题设,每个工人在单位时间内加工5k个A型零件,所以x个工人在单位时间内加工5k·x个A型零件.总共需要1500×3个A型零件,所以g(x)=150035kx=900kx.单位时间内加工B型零件的个数为3k,所以h(x)=15003?(214-)kx=500(214-)kx.(1)g(x)-h(x)=900kx-500(214-)kx=192600-1400·(214-)xkxx,因为1≤x214,x∈N,所以:①当1≤x≤137时,g(x)h(x);②当138≤x≤213时,g(x)h(x);即当x≤137时,加工A型这一组所用的时间多;当x≥138时,加工B型这一组所用的时间多.要完成任务必须使两组全完成才能完成任务,故完成总任务时间是:f(x)=900,1137,N,500,138213,N.(214-)xxkxxxkx(2)要使任务完成最快,|g(x)-h(x)|应最小,令g(x)-h(x)=0,得x=13747.因为x∈N,所以需比较x=137和138时,|g(x)-h(x)|的大小.经比较,加工A型零件有137人,加工B型零件有77人时,完成任务的用时最少.另外可以这样考虑,要使任务完成最快,即求函数f(x)的最小值.当1≤x≤137,x∈N时,f(x)=900kx,显然x=137时,f(x)最小.当138≤x≤213,x∈N时,f(x)=500(214-)kx,显然x=138时,f(x)最小,比较x=137和x=138时f(x)的大小,可知当x=137时,f(x)最小.【练习】【解答】(1)由题意知S=2bx+2ay+4xy+ab(x,y0).(2)因为x,y0,所以2bx+2ay≥22?2bxay,当且仅当bx=ay时,等号成立.从而S≥4abxy+4xy+ab,(*)令t=xy,则t0,上述不等式(*)可化为4t2+4abt+ab-S≤0,解得--2Sab≤t≤-2Sab,因为t0,所以0t≤-2Sab,从而xy≤-24abSabS.由,224,bxaySbxayxyab解得-,2-2abSabxbabSabya(负根舍去).所以当x=-2abSabb,y=-2abSaba时,四个矩形木雕的总面积最大,最大值为ab+S-2abS.考点2函数