3直角定理

§1、垂直两直线的投影（1）垂直相交的两直线的投影定理一垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理二相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。（2）交叉垂直的两直线的投影定理三相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。例题1例题2例题3例题4一、垂直相交的两直线的投影cXbacbaAB垂直于AC,且AB平行于H面,则有abac证明见P18AB垂直于MN,且AB平行于H面,则有abmn二、交叉垂直的两直线的投影[例题1]过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V面。bb[例题2]过点A作直线AB与CD,EF两直线相交kk'(b)b'a'e'f'e(f)ac'd'cd[例题3]根据直角投影定律，由投影判断空间两直线是否垂直？a'b'c'abcb'a'abcb'c'abcda'b'c'(d')AB⊥BCAB⊥BCAB⊥BCAB⊥BC相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且其中有一条直线为该投影面的平行线，则这两直线在空间也必定互相垂直。水平面投影垂直——水平线正平面投影垂直——正平线abca'c'[例题4]求M点到直线AB的距离分析：求距离——作垂线已知AB是水平线——在水平面过m点作ab垂直线MN实长？作图：aba'b'mm'nn'⊿Z⊿Z实长[例题5]已知点K到水平线AB的距离为20mm,求k'点。分析：求距离——空间作垂线已知AB为水平线——水平面垂直——kc已知KC的实长为20mm---据直角三角形法——k'c'作图：1过k作kc垂直ab,kc即垂线的水平投影2kc为一直角边，20mm长为斜边作直角三角形——⊿ZKC3定k',连k'c'aba'b'kk'cc'⊿ZKC⊿ZKC还有一解？C0[例题6]完成菱形投影图，已知正平线AB为一对角线，菱形的一条边在AF上。分析：据菱形特点对角线互相垂直，交点平分对角线作图：1在AB上找中点O2AB是正平线——d'c'⊥a'b'f'faa'bb'c'cd'o'od习题1-31b[例题7]作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB=23。bcABab|yA-yB|bc=BCcaaACBa'b'c'abca'b'c'abca'b'c'abca'b'c'abca'b'c'abc1.用几何元素表示平面§2、平面的投影2.平面的迹线表示法PPVPHPVPHQVQHQHQVQ§3、平面上的点、直线1.平面上取点和直线直线在平面上的几何条件是：①通过平面上的两点；②通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。SLNMABKe'f'n’m’a'b'c'OXbcaemnf例8（1）已知三角形ABC的两面投影及该平面上的直线MN的正面投影,求作MN的水平投影。BAbacCMNEFefmn1'2'21（2）试在三角形ABC上作一条直线。m'n'点在平面上的条件：必须经过平面上的任意一条直线。f'e'平面上的点cbaefABKEFCk例9（1）已知三角ABC上K点的水平投影,试求其正面投影。a'b'c'cabOXkefk'（2）试判定点Ⅰ是否在三角形ABC上。1'12'2例10已知点E在ABC上，试求点E的正面投影。ee'例11点K在平面内,已知k'，求k。1'1k1'1ka'c'cabk'b'a'c'cabk'b'方法一方法二例12已知AC为正平线，完成四边形的水平投影。cda'b'c'd'ab例2-032-综4既具有平面上直线的投影特征，又具有投影面平行线投影特征的直线，称为面上的投影面平行线。(1)平面上的投影面平行线例11:(1)试在三角形ABC上作一条水平线。a'b'c'abcOXCHVABabcOXDdd'd（2)试在三角形ABC上作一条与正投影面距离为30mm的正平线。30mmeff'e'平面上的特殊直线(2).平面上的最大斜度线(下次课讲)1.平面上的最大斜度线—平面上对某个投影面倾角最大的直线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。2.平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面的平行线相互垂直。3.平面上的投影面最大斜度线有三组，即分别对正立投影面、水平投影面及侧立投影面三组最大斜度线。（1）平面上对水平投影面的最大斜度线（2）平面上对正面投影面的最大斜度线（3）平面上对侧面投影面的最大斜度线ABP,KLPAB//HKLABKL为平面内对H面的最大斜度线。属于定平面并垂直于该平面的投影面平行线的直线称为最大斜度线。最大斜度线对投影面的角度最大。最大斜度线的几何意义：测定平面对投影面的角度。HABKklLP1abHABKklLP1ab投影特性klab(直角投影定理）KL与H面的倾角即为平面P与H面的倾角KL是平面内对H面倾角最大的直线例题13求作ABC平面上对水平面的最大斜度线BE。bd'de'e例题14求ABC平面与水平投影面的夹角。beBEb同:例2-05例2-062-综3例题15已知直线EF为某平面对H面的最大斜度线，试作出该平面。aa给题例2-07