巧借三角形的两条内外角平分线夹角的模型解决问题

DCAABCDDCBAABCDEDCBA巧借三角形的两条内（外）角平分线夹角的模型解决问题新北实验中学严云霞【基本模型】三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1）；模型二：当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）；模型三：当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）；【分析】三个结论的证明例1、如图1，△ABC中，BD、CD为两个内角平分线，试说明：∠D=90°+21∠A。（方法一）解：∵BD、CD为角平分线∴∠CBD＝21∠ABC，∠BCD＝21∠ACB。在△BCD中：∠D＝180°－（∠CBD＋∠BCD）＝180°－21（∠ABC＋∠ACB）＝180°－21（180°－∠A）＝180°－21×180°＋21∠A＝90°＋21∠A（方法二）解：连接AD并延长交BC于点E解：∵BD、CD为角平分线∴∠CBD＝21∠ABC，∠BCD＝21∠ACB。∵∠BDE是△ABD的外角∴∠BDE＝∠BAD+∠ABD=∠BAD+21∠ABC如图1如图2如图3同理可得∠CDE＝∠CAD+21∠ACB又∵∠BDC＝∠BDE+∠CDE∴∠BDC＝∠BAD+21∠ABC+∠CAD+21∠ACB＝∠BAC+21（∠ABC+∠ACB）＝∠BAC+21（180°－∠BAC）＝90°＋21∠BAC例２、如图，ＢＤ、ＣＤ为△ＡＢＣ的两条外角平分线，试说明：∠D=90°－21∠A。解：∵BD、CD为角平分线∴∠CBD=21∠CBE∠BCD＝21∠BCF又∵∠CBE、∠BCD为△ABC的外角∴∠CBE＝∠A＋∠ACB∠BCF＝∠A＋∠ABC∴∠CBE＋∠BCF＝∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC＝∠A＋180°在△BCD中：∠D＝180°－（∠CBD＋∠BCD）＝180°－（21∠CBE＋21∠BCF）＝180°－21（∠CBE＋∠BCF）＝180°－21（∠A＋180°）＝90°－21∠A【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为180°。例３：如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，CD为∠ＡＣＥ的平分线，试说明：∠D＝21∠A；解：∵BD为角平分线，∴∠CBD＝21∠ABC，又∵CD为∠ACE的平分线∴∠DCE=21∠ACE，DCBA而∠DCE为△BCD的一个外角∴∠DCE=∠D+∠DBC，即∠D＝∠DCE－∠DBC∴∠D＝21∠ACE－21∠ABC＝21（∠ACE－∠ABC）＝21∠A。【巧借模型解决问题】一、运用模型直接求值例4、如图，在△ABC中，∠Ａ=400，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC=0【思路分析】由条件知，这是图1的模型：三角形两条内角平分线的夹角，∴∠BDC＝90°＋21∠A当∠Ａ=400时，∠BDC=90°＋20°=110°反之，如果已知∠BDC的度数，则把度数代入公式：∠BDC＝90°＋21∠A，可以解出∠A的度数。二、运用模型揭秘画图题例5、小明用下面的方法画出了45°角：作两条互相垂直的直线MN、PQ，点A、B分别是MN、PQ上任意一点，作∠ABP的平分线BD，BD的反向延长线交∠OAB的平分线于点C，则∠C就是所求的45°角．你认为对吗？请给出证明．【思路分析】通过对两条角平分线的分析，可以发现AC、BD分别是△AOB的内角平分线和外角平分线的夹角。根据图3的结论：这个夹角等于第三个角一半，可知∠C=21∠AOB。解：先模仿图3证明∠C=21∠AOB又∵∠AOB=90°∴∠C=21∠AOB=45°三、运用模型探究规律，提升拓展例6、问题引入：（1）如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC=（用α表示）；拓展研究：（2）如图②，∠CBO=13∠ABC，∠BCO=13∠ACB，∠A=α，试求∠BOC的度数（用α表示）归纳猜想：（3）若BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=1n∠ABC，∠BCO=1n∠ACB，∠A=α，则∠BOC=（用α表示）．类比探索：（4）特例思考：如图③，∠CBO=13∠DBC，∠BCO=13∠ECB，∠A=α，求∠BOC的度数（用α表示）．一般猜想：若BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=1n∠DBC，∠BCO=1n∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC=（用α表示）．【思路分析】（1）此为图1的模型，∠O=90°+21∠BAC=90°+21α（2）把角平分线换成13，但证明的思路大致相似。在△ＢOC中：∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）＝180°－13（∠ABC＋∠ACB）＝180°－13（180°－∠A）＝180°－13×180°＋13∠A＝120°＋13∠A＝120°＋13α（3）把角平分线换成1n，证明的思路类似。在△ＢＣＤ中：∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）＝180°－1n（∠ABC＋∠ACB）＝180°－1n（180°－∠A）＝180°－1n×180°＋1n∠A＝1nn×180°＋1n∠A＝1nn×180°＋1nα（4）此为图2的模型中，把角平分线换成13，证明如下：∵∠CBD、∠BCE为△ABC的外角∴∠CBD＝∠A＋∠ACB,∠BCE＝∠A＋∠ABC∴∠CBD＋∠BCE＝∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC＝∠A＋180°在△ＢＣＤ中：∠BOC＝180°－（∠CBO＋∠BCO）＝180°－（13∠CBD＋13∠BCE）＝180°－13（∠CBD＋∠BCE）＝180°－13（∠A＋１180）＝120°－13∠A＝120°－13α一般猜想：把13再次推广为1n，证明类似：在△ＢＣＤ中：∠BOC＝180°－（∠CBO＋∠BCO）＝180°－（1n∠CBD＋1n∠BCE）＝180°－1n（∠CBD＋∠BCE）＝180°－1n（∠A＋180°）＝1nn×180°－1n∠A＝1nn×180°－1nα【小结】在（2）（3）（4）的结果对比中，我们发现这两个夹角不再互补，但仍然存在中间的运算符号相反的问题，从一般猜想中可以发现这个规律。虽然在问题设计中引起一连串的变式，从12变成13，再从13推广为1n，但问题证明的思路并未发生质的变化。四、三种模型合为一体，渗透分类思想例7、好学的小红在学完三角形的角平分线后，钻研了下列4个问题，请你一起参与，共同进步．如图，△ABC，点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点，点D是∠MBC与∠NCB平分线的交点，点E是∠ABC与∠ACG平分线的交点．问题（1）：若∠BAC=50°，则∠BIC=°，∠BDC=°．问题（2）：．猜想∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．问题（3）：若∠BAC=x°（0＜x＜90），则当∠ACB等于度（用含x的代数式表示）时，CE∥AB．说明理由．问题（4）：若△BDE中存在一个内角等于另一个内角的三倍，试求∠BAC的度数．【思路分析】（1）已知点I是两内角∠ABC、∠ACB平分线的交点，故由图1归纳的模型：∠BIC==90+∠BAC，由此可求∠BIC；因为CD、BD分别为△ABC的两外角平分线，故由图2的模型：∠BDC=190﹣∠BAC，由此可求∠BDC；（2）因为BE、CE分别为△ABC的内角、外角平分线，故由图3的模型：∠BEC==∠BAC，由此可求∠BEC；（3）当CE∥AB时，∠BEC=∠ABC，由（3）可知，∠ABC=∠BAC，∠ACB=（180﹣∠BAC）．（4）由题意可证：△BDE是直角三角形，∠DBE=90°，∴∠D+∠E=90°。已知条件中：一个内角等于另一个内角的三倍，则不明确，所以应当分类讨论。①若∠EBD=3∠D；②若∠EBD=3∠E；③若∠D=3∠E；④若∠E=3∠D．解：（1）∵点I是两角B、C平分线的交点，∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90+∠BAC=115°；类似证明∠BDC=180°﹣∠BIC=90°﹣∠BAC=65°；或者也可以这样证明：∵BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线，∴∠IBC=∠ABC，∠CBD=∠CBM；∴∠DBI=∠IBC+∠CBD=∠IBC=∠ABC+∠CBM=（∠ABC+∠CBM）=×180°∴∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，在四边形CDBI中，∠BDC=180°﹣∠BIC=90°﹣∠BAC=65°；（2）有图3的模型可证∠BEC=∠BAC．也可借助上面的小题这样证明：在△BDE中，∠DBI=90°，∴∠BEC=90°﹣∠BDC=90°﹣（90°﹣∠BAC）=∠BAC；（3）当∠ACB等于（180﹣2x）°时，CE∥AB．理由如下：∵CE∥AB，∴∠ACE=∠A=x°，∵CE是∠ACG的平分线，∴∠ACG=2∠ACE=2x°，∴∠ABC=∠ACG﹣∠BAC=2x°﹣x°=x°，∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=（180﹣2x）°．（4）由题意知：△BDE是直角三角形∠D+∠E=90°若∠EBD=3∠D时∠BAC=120°；若∠EBD=3∠E时∠BAC=60°；若∠D=3∠E时∠BAC=45°；若∠E=3∠D时∠BAC=135°．综上所述，∠BAC=120或60°或45°或135°．巩固练习：1、如图：BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，（1）若∠A=40°，求∠BOC的度数；（2）若∠A=60°，∠BOC=；若∠A=100°，∠BOC=；（3）由（1）、（2）的结果，试直接写出∠BOC与∠A之间的数量关系；（4）利用你得出的结论，求当∠BOC=150°时，求∠A的度数．2、已知如图，∠COD=90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE和射线AF交于点G．（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=30°，则∠OGA=；（2）若∠GOA=13∠BOA，∠GAD=13∠BAD，∠OBA=30°，则∠OGA=；（3）将（2）中“∠OBA=30°”改为“∠OBA=α”，其余条件不变，则∠OGA=（用含α的代数式表示）；（4）若OE将∠BOA分成1：2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO=α（30°＜α＜90°），求∠OGA的度数（用含α的代数式表示）。