美式期权二叉树定价及MATLAB程序

金融随机分析课程美式期权的二叉树定价1、对于连续随机游走：SdZSdtdS可以用离散格随机游走模型来表示，即标的资产的价格只在离散时间点t，2t,3t,…,Nt取值，t表示很小但非无穷小的时间步长；如果标的资产在时刻mt的价格为mS，那么在时刻(m+1)t其价格有两种可能的值:)1(uuSm和)1(ddSm，并且标的资产的价格从mS上升到muS的概率为p。2、风险中性假设在风险中性条件下，随机微分方程：SdZSdtdS其中的可以用r来表示。即SdZrSdtdS风险中性条件下，在时刻mt衍生证券的价格mV是其在时刻(m+1)t的期望值按照无风险利率r贴现所得到的，即][1mtrmVeEV。3、期权的计算期权的计算是从二叉树图的末端（时刻T）开始向后倒退进行的。T时刻期权的价值NnV已知。对于一个看涨期权来说，有)0,max(KSVNnNn对于一个看跌期权来说，有)0,max(NnNnSKV其中，n=0,1,2,…,N,K为执行价格。在风险中性条件下，tT时刻的每个结点上的期权值都可以用T时刻期权价值的期望值在时间t内用利率r贴现求出；同理，tT2时刻的每个结点的期权值可以用tT时刻的期望值在t时间内用利率r贴现求出，其它结点依次类推。而如果对于美式期权，必须检查二叉树图的每个结点，以确定提前执行是否比继续持有t时间更为有利。最后，向后倒推通过所有结点就求出了当前时刻的期权价值0V。下面对美式期权定价问题进行研究：美式看涨期权被提前执行时，其内涵价值为)0,max(KSVmnmnn=0,1,2,…,m对于看跌期权来说，有)0,max(mnmnSKVn=0,1,2,…,m在mt时刻从节点(m,n)向(m+1)t时刻的结点(m+1,n+1)移动的概率为p；向(m+1)t时刻的结点(m+1,n)移动的概率为1-p。假设期权不提前执行，有：])1([111mnmntrmnVppVeV若期权提前执行，必须与内涵价值相比较。那么，对于看涨期权，有]})1([),0,max{max(111mnmntrmnmnVppVeKSV对于看跌期权，有]})1([),0,max{max(111mnmntrmnmnVppVeSKV4、计算美式看涨期权的价格的Matlab实现（基于具体的算例）Matlab程序如下：%输入具体参数S0=100;%当前股价K=105;%执行价格r=0.05;%利率T=1;%期权有效期sigma=0.3;%波动率q=0.02;%红利率n=1000;%步数dt=T/n;%时间步长%计算二叉树各参数u=exp(sigma*sqrt(dt));%计算上升比率d=1/u;%计算下降比率p=(exp((r-q)*dt)-d)/(u-d);%计算上升的概率%构造二叉树矩阵，i表示行数，j表示列数，Sx为股价矩阵，fx为期权的内在价值forj=1:n+1fori=1:jSx(i,j)=S0*(u^(j-i))*(d^(i-1));fx(i,j)=max(Sx(i,j)-K,0);end;end;%计算美式期权价格矩阵Afx和欧式期权价格矩阵Efxfori=1:n+1%到期时(j=n+1)期权价格Afx(i,n+1)=fx(i,n+1);Efx(i,n+1)=fx(i,n+1);end;forjj=1:n%倒推前面各期(j=n-1,n-2,…,1)期权价格j=n+1-jj;fori=1:jEfx(i,j)=exp(-r*dt)*(p*Efx(i,j+1)+(1-p)*Efx(i+1,j+1));Afx(i,j)=max(exp(-r*dt)*(p*Afx(i,j+1)+(1-p)*Afx(i+1,j+1)),fx(i,j));end;end;%输出结果AmeOptionPrice=Afx(1,1)ErouOptionPrice=Efx(1,1)AmeOptionPrice=10.89434691587509ErouOptionPrice=10.89432408424911