导函数大题集锦

1、已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若对任意的，都有成立，求的取值范围．311()ln(,0).33fxxaxaRa3a()yfx(1,(1))f()fx[1,)x()0fxa解：（1）当3a时，,2)1(,3)(,0)1(,31ln331)(23fxxxffxxxf.022))1(,1()(yxfxfy处的切线方程为：在点曲线（2）)0()(32xxaxxaxxf①当0)(03xaxxfa时，恒成立，函数)(xf的递增区间为).,0(②当0a时，令.,0)(33（舍）或解得axaxxfx),0(3a3a),(3a)(xf0+)(xf减极小值增].,0(),,()(33aaxf递减区间为的递增区间为函数（3）对任意的),1[x，使0)(xf成立，只需对任意的),1[x，0)(minxf①当0a时，)(xf在),1[上是增函数，只需0)1(f，而0311ln31)1(af，0a满足题意；②当10a时，103a，)(xf在),1[上是增函数，只需0)1(f，而0311ln31)1(af10a满足题意；③当1a时，13a，)(xf在),1[3a上是减函数，),[3a上是增函数只需0)(3af即可，而0)1()(3faf，1a不满足题意；综上，]1,0()0,(a2、已知函数2()xfxxe。（Ⅰ）求()fx的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线()yfx的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围。3、已知函数22()ln(21)2().3xfxaxxaxaR（1）若x=2为()fx的极值点，求实数a的值；（2）若()yfx在3,上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当12a时，方程3(1)(1)3xbfxx有实根，求实数b的最大值。(1)解：222[2(14)(42)]2()222121xaxaxaafxxxaaxax……1分因为x=2为f(x)的极值点，所以(2)0f……2分即22041aaa，解得：a=0……3分又当a=0时，()(2)fxxx，从而x=2为f(x)的极值点成立．……4分(2)解：∵f(x)在区间[3，+∞)上为增函数，∴22[2(14)(42)]()021xaxaxafxax≥在区间[3，+∞)上恒成立．……5分①当a=0时，()(2)0fxxx≥在[3，+∞)上恒成立，所以f(x)在[3，+∞)上为增函数，故a=0符合题意．……6分②当a≠0时，由函数f(x)的定义域可知，必须有2ax+10对x≥3恒成立，故只能a0，所以222(14)(42)0axaxa≥在区间[3，+∞)上恒成立．……7分令22()2(14)(42)gxaxaxa，其对称轴为114a……8分∵a0，∴1114a，从而g(x)≥0在[3，+∞)上恒成立，只要g(3)≥0即可，由2(3)4610gaa≥，解得：31331344a≤≤……9分∵a0，∴31304a≤．综上所述，a的取值范围为[0，3134]……10分(3)解：12a时，方程3(1)(1)3xbfxx可化为，2ln(1)(1)bxxxx．问题转化为2[ln]bxxxx在(0，+∞)上有解……11分令2()lnhxxxx，则(21)(1)1()12xxhxxxx…12分当0x1时，()0hx，∴h(x)在(0，1)上为增函数当x1时，()0hx，∴h(x)在(1，+∞)上为减函数故h(x)≤h(1)=0，而x0，故()0bxhx≤即实数b的最大值是0．……14分4、已知函数aaxxaxxf232131)(，Rx，其中0a．（1）求函数)(xf的单调区间；（2）若函数)(xf在区间)0,2(内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a＝1时，设函数)(xf在区间3,tt上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)＝M(t)－m(t)，求函数g(t)在区间1,3上的最小值．解：(1))(xf＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．由)(xf＝0，得x1＝－1，x2＝a＞0.当x变化时)(xf，)(xf的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，a)a(a，＋∞))(xf＋0－0＋)(xf极大值极小值故函数)(xf的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)．（2）由(1)知)(xf在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数)(xf在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当0)0(0)1(0)2(fff，解得0＜a＜13.所以a的取值范围是31,0.（3）a＝1时，)(xf＝13x3－x－1.由(1)知)(xf在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．①当t∈[－3，－2]时，t＋3∈[0,1]，－1∈[t，t＋3]，)(xf在[t，－1]上单调递增，在[－1，t＋3]上单调递减．因此)(xf在[t，t＋3]上的最大值M(t)＝f(－1)＝－13，而最小值m(t)为f(t)与f(t＋3)中的较小者．由f(t＋3)－f(t)＝3(t＋1)(t＋2)知，当t∈[－3，－2]时，f(t)≤f(t＋3)，故m(t)＝f(t)，所以g(t)＝f(－1)－f(t)．而f(t)在[－3，－2]上单调递增，因此f(t)≤f(－2)＝－53.所以g(t)在[－3，－2]上的最小值为g(－2)＝－13－35＝43.②当t∈[－2，－1]时，t＋3∈[1,2]，且－1,1∈[t，t＋3]．下面比较f(－1)，f(1)，f(t)，f(t＋3)的大小．由)(xf在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有f(－2)≤f(t)≤f(－1)，f(1)≤f(t＋3)≤f(2)．又由f(1)＝f(－2)＝－53，f(－1)＝f(2)＝－13，从而M(t)＝f(－1)＝－13，m(t)＝f(1)＝－53.所以g(t)＝M(t)－m(t)＝43.综上，函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值为43.5、（本小题满分13分）已知函数xxaxxfln)(，（Ra）.（1）若)(xf有最值，求实数a的取值范围；（2）当2a时，若存在1x、2x12()xx，使得曲线)(xfy在1xx与2xx处的切线互相平行，求证：821xx.解：（1）22211)(xaxxxxaxf，),0(x由a41知，①当41a时，0)(xf，)(xf在),0(上递增，无最值；②当041a时，02axx的两根均非正，因此，)(xf在),0(上递增，无最值；③当0a时，02axx有一正根2411ax，)(xf在)2411,0(a上递减，在),2411(a上递增；此时，)(xf有最小值；所以，实数a的范围为0a.7分（2）证明：依题意：1)11(111121222121xxaxxaxxa，由于0,021xx，且21xx，则有22121212121)2()(22xxxxxxxxxxa22121)2()(2xxxx821xx.13分考点：1.导数的计算；2.利用导数求曲线的切线方程；3.利用导数求函数的最值；4.基本不等式.6、（本小题满分13分）已知函数2ln)(xxaxf(a为实常数)．（1）若2a，求证：函数)(xf在),1(上是增函数；（2）求函数)(xf在],1[e上的最小值及相应的x值；（3）若存在],1[ex，使得)(xfxa)2(成立，求实数a的取值范围．解：（1）当2a时，xxxfln2)(2，当),1(x，0)1(2)(2xxxf，故函数)(xf在),1(上是增函数．（2）)0(2)(2xxaxxf，当],1[ex，]2,2[222eaaax．若2a，)(xf在],1[e上非负（仅当2a，1x时，0)(xf），故函数)(xf在],1[e上是增函数，此时min)]([xf1)1(f．若222ae，当2ax时，0)(xf；当21ax时，0)(xf，此时)(xf是减函数；当exa2时，0)(xf，此时)(xf是增函数．故min)]([xf)2(af2)2ln(2aaa．若22ea，)(xf在],1[e上非正（仅当2e2a，x=e时，0)(xf），故函数)(xf在],1[e上是减函数，此时)()]([minefxf2ea．综上可知，当2a时，)(xf的最小值为1，相应的x值为1；当222ae时，)(xf的最小值为2)2ln(2aaa，相应的x值为2a；当22ea时，)(xf的最小值为2ea，相应的x值为e．（3）不等式xaxf)2()(，可化为xxxxa2)ln(2．∵],1[ex,∴xx1ln且等号不能同时取，所以xxln，即0lnxx，因而xxxxaln22（],1[ex）令xxxxxgln2)(2（],1[ex），又2)ln()ln22)(1()(xxxxxxg，当],1[ex时，1ln,01xx，0ln22xx，从而0)(xg（仅当x=1时取等号），所以)(xg在],1[e上为增函数，故)(xg的最小值为1)1(g，所以a的取值范围是),1[．7．（本小题满分13分）已知函数2()416mxfxx，1()()2xmgx，其中mR且m0．（Ⅰ）判断函数()fx的单调性；（Ⅱ）当2m时，求函数()()()Fxfxgx在区间[﹣2，2]上的最值；（Ⅲ）设函数(),2()(),2gxxhxfxx，当2m时，若对于任意的1x[2，+∞），总存在唯一的2x（﹣∞，2），使得12()()hxhx成立，试求m的取值范围．解：（Ⅰ）依题意，22222(4)(2)(2)()4(4)4(4)mxmxxfxxx，①当0m时，解()0fx得﹣2≤x≤2，解()0fx得2x或2x；所以()fx在[﹣2，2]上单调递增，在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上单调递减；②当0m时，解()0fx得﹣2≤x≤2，()0fx得2x或2x；所以()fx在[﹣2，2]上单调递减；在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上单调递增．（Ⅱ）当2m，﹣2≤x≤2时，111()()()2()222xmxmmxgx在[﹣2，2]上单调递减，由（Ⅰ）知，()fx在[﹣2，2]上单调递减，所以21()()()2()2416mxmxFxfxgxx在[﹣2，2]上单调递减；∴2max()(2)4221616mmmmFxF；2min()(2)216mmFxF．（Ⅲ）当m≥2，1x[2，+∞）时，11121()()416mxhxfxx，由（Ⅰ）知1()hx在[2，+∞）上单调递减，从而1()hx（0，(2)f]，即1()hx（0，16m]；当m≥2，22x时，22222111()()()()()2222xmmxxmhxgx在（﹣∞，2）上单调递增，从而2()hx(0，g（2）)，即221()(0,())2mhx；对于任意的1x[2，+∞），总存在唯一的2x（﹣∞，2），使得12()(