弹性力学复习测试题

1、已知弹性体内经过某点A处与水平面成0°和30°的两斜面上的应力情况如图所示（平面应力状态），试求（1）主应力的大小及方向（2）沿与水平面成20°倾角的微面上的全应力p。解：（1）根据水平面OA上的应力情况，有：00,1,0,nnlm可求得：0y，0xy根据水平面AB上的应力情况，有：12,32,0nlm可求得：023x（2）根据主应力及应力主方向的定义有：1,20(32)，)32(1arctg（3）与水平面成20°倾角的微面上的全应力00(23sin20cos20)sin20xypp与水平面成20°倾角的微面上的正应力sin20cos20sin20cos20nxynyxpppp2、在平面弹性问题中，不计体力，设应力函数为44(,)xyaxbxycy（1）当a,b,c取何值时，上述应力函数满足相容方程。（2）当a,b,c取何值时，由上述应力函数求出的应力分量满足平衡微分方程？（3）依据(,)xy所确定的,,xyxy，求如图所示矩形薄板（00ab，）的各边界上面力，并画出面力示意图。解：（1）校核相容方程。可求得：当ca，b取任意值时，上述函数满足相容方程。（2）校核平衡微分方程。可求得：当满足(1)中的条件时，根据满足相容方程的应力函30°xyO20°00ABbbaaOxy数所求应力分量均能满足平衡微分方程。（3）求矩形薄板各边界上面力在边界x=-a上：212,xyfayfb在边界x=a上：212,xyfayfb在边界y=-b上：2,12xyfbfax在边界y=b上：2,12xyfbfax（4）根据上述各面上的面力取值，结合条件（00ab，）和面力的正负号规定，可画出面力示意图。3、如图所示厚度为单位厚度1的悬臂梁，在端部受集中力F作用，不计体力。试用应力函数)(yxf，求其应力分量。解：（1）所给定的应力函数必须满足相容方程，代入相容方程可得：32()BfyAyyCyD由于应力函数中的一次式不影响应力分布，故可忽略上式中的常数项，有32(B)xAyyCy（2）根据应力函数求应力分量（3）根据边界条件确定常数在主要边界上有：0)(2yhy；0)(2xyhy在次要边界x=0上应用圣维南原理，列出三个积分边界条件有：202()0hxxhdy202()0hxxhydy202()hxyxhdyF由所有边界条件可求得待定参数：323,,02FFACBhh将待定常数代入应力分量，即得：22231260()4xyxyFFhxyyhhFh/2h/2lxy（lh，=1）O4、如图所示，单位厚度矩形截面柱体承受偏心载荷F作用，不计体力，试解答如下问题：（1）判断此问题属于哪一类平面问题，并简要说明理由；（2）假设应力分量0xy，试由半逆解法求该问题应力分量；（3）求该问题的应变分量。（4）假设O点不移动，且经过该点的垂直微分线段不转动，求该问题的位移分量。解：（1）根据已知条件可判断出该问题为平面应力问题。因为该弹性体为等厚度薄板，所受外力平行于板面，沿厚度方向不变，板面不受外力作用，也不受约束。（2）根据相容方程，求应力函数的具体函数形式根据假设2xy0xy，从而有1()()fxfy上述应力函数必须满足相容方程，可求出两个待定函数，从而有432432AxBxCxAyEyGy（4）根据应力函数求应力分量（5）根据边界条件确定常数在左右主要边界上：0)(xax，0)(xax，0)(xyax，0)(xyax在上边界上，应用圣维南近似，得()ayyhadxF()2ayyhaaxdxF()0axyyhadx由所有边界条件可解所有待定参数：20,,84FFAEGBCaa将待定常数代入应力分量，即得：aFxaFyxyx24302（6）将应力分量代入平面应力问题的物理方程求应变分量。（7）将应变分量代入平面应力问题的几何方程求位移分量。0202222)243(1831)283(vxyaFxaFEvuyyaFExaFxaFEuFhxy（h2a，=1）Oaa上述表示钢体位移的待定常数由边界上的约束条件确定。根据已知条件，O点不动，且该点截面内的垂直微分线段不能转动，则有000()()0()0xyxyxyuvuy代入解得000vu从而有：yaFxaFEvyaFExaFxaFEu)243(1831)283(22222