考研数学《线性代数》考点知识点总结

第一章行列式二元线性方程组：2222111211byaxabyaxa22211211aaaaD，2221211ababD，2211112babaDDDx1，DDy2排列的逆序数：ntitt1（it为排列nppp21中大于ip且排于ip前的元素个数）t为奇数奇排列，t为偶数偶排列，0t标准排列。n阶行列式：nnnnnnijaaaaaaaaaaD212222111211)det(=nnppptaaa2121)1(t为列标排列的逆序数．定理1：排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性推论：奇（偶）排列变为标准排列的对换次数为奇（偶）数定理2：n阶行列式可定义为nppptnaaaD2121)1(=nnppptaaa2121)1(．行列式的性质：1．D=DT，DT为D转置行列式．(沿副对角线翻转，行列式同样不变)2．互换行列式的两行(列)，行列式变号．记作：jirr（jicc）DD．推论：两行(列)完全相同的行列式等于零．记作：jirr（jicc）0DD．3．行列式乘以k等于某行(列)所有元素都乘以k．记作：krkDi（kckDi）．推论：某一行(列)所有元素公因子可提到行列式的外面．记作：krkDi（kckDi）．4．两行(列)元素成比例的行列式为零．记作：krrij（kccij）0D．5．nnnnnininniiiiaaaaaaaaaaaaaaaD2121222221111211)()()(nnnnninniinnnnninniiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD2121222211121121212222111211上式为列变换，行变换同样成立．6．把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．记作：jiikccc(jiikrrr)，D不变．注：任何n阶行列式总能利用行运算ri+krj化为上(下)三角行列式．对角行列式nn212100，nnnn212)1(21)1(00上D（下DT）三角形行列式nnnnnnaaaaaaaaaD2211212221110若对kkkkkkkkkkkkbbbbccccaaaaD111111111111设nnnnijkkkkijbbbbbDaaaaaD1111211111)det()det(，则有D=D1D2．若2n阶行列式nnddccbbaaD22，有D2n=(ad-bc)n．余子式：n阶行列式中把ija所在的第i行和第j列去掉后，余下n-1阶行列式．代数余子式：ijjiijMA)1(引理：n阶行列式D中，若第i行所有元素除ija外都为零，则有ijijAaD．定理3：(代数余子式性质)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘机之和．推论：行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘机之和等于零．;,,0,1jijiDDAankijkjki当当或;,,0,1jijiDDAankijjkik当当其中.,,0,1jijiij当当范德蒙德行列式：113121122322213211111nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxD＝1)(jinjixx．证明用数学归纳法．克拉默法则：设方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,,，若01111nnnnaaaaD，则方程组有惟一解：DDxDDxDDxnn,,,2211，其中nnjnnjnjnnjjaaaabbaaaaD1,11,111,11,111),,2,1(nj．定理4：若上线性方程组的系数行列式0D，则方程组一定有惟一解；若无解或有两个不同解，则0D．定理5：若齐次线性方程组(bn=0)的系数行列式0D，则齐次线性方程组无非零解；若有非零解，则0D．第二章矩阵及其运算n阶单位矩阵(单位阵)：100010001EAAEEA．对角矩阵(对角阵)：nλλλ00000021Λ另可记作),,,diag(21nΛ．纯量阵：λλλ000000EAAE)(，AEA)(．矩阵与矩阵相乘：若)(ijaΑ是一个sm矩阵，)(ijbB是一个ns矩阵，且ABC，则)(ijcC是一个nm矩阵，且mibababacsjisjijiij,,2,1(2211;),,2,1nj．若BAAB，称A与B是可交换的．矩阵转置：若)(ijaΑ，则)(TjiaΑTTT)(BABA，TTT)(ABAB若TAA，A为对称阵方阵的行列式：n阶方阵A元素构成的行列式，记A或Adet．方阵行列式的运算规律：1．AAT；2．AAn；3．BAAB，11AA．伴随矩阵：nnnnnnAAAAAAAAA212221212111*AijA为行列式A中对应元素的代数余子式．EAAAAA**逆矩阵：若EBAAB，则A可逆，且称B为A的逆矩阵，记B=A-1，A的逆阵是唯一的．定理1：若矩阵A可逆，则0A．定理2：若0A，则矩阵A可逆，且*AAA11．奇异矩阵：当0A时，A称为奇异矩阵．矩阵A可逆的充要条件：0A，即矩阵A是非奇异矩阵。运算规律：1．AA11)(；2．111)(AA；3．111)(ABAB；4．TTAA)()(11．矩阵A的m次多项式：mmaaaaAAAEA2110)()()()()(AAAAff，多项式可相乘或分解因式1．若1PPΛA，则1PPkkΛA，1)()(PΛPA．2．),,,diag(21nΛ（对角阵），则),,,diag(21knkkkΛ,))(,),(),(diag()(21nA．分块矩阵的运算规律：加减相乘与矩阵相同。分块对角矩阵：（其中A以及iA均为方阵）sA0A0AA21，若0A，则11211sA0A0AA1性质：sAAAA21，且),,2,1(0siiA，则0A．若srsrAAAAA1111，则TT1T1T11TsrsrAAAAA行向量：TT2T1mnmαααA，),,,(21Tiniiiaaaα列向量：),,,(21naaaAmjjjaaa21jaTT22T11mmnmmαααAΛ),,,(2211nnnaaaAΛ若0AAT，则0A．第三章矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换：初等行(列)变换：1．jirr(jicc)；2．kri(kci)（0k）；3．jikrr(jikcc)．矩阵间等价：行等价：BA~；列等价：BA~；等价：BA~．（矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B）行阶梯型矩阵：阶梯线下为零，一行一台阶，竖线后非零元。行最简形矩阵：竖线后非零元为1，同列其它元为0．标准型：nmr000EF或rEF矩阵nmA经初等变换总能化为标准型F．等价类：所有等价矩阵组成的集合，标准型为其中形状最简单矩阵。初等矩阵：单位矩阵E经一次初等变换所得矩阵E(f)（f为变换规则）：1．),(jiE：jirr(jicc)；2．))((kiE：kri(kci)（0k）；3．))((kijE：jikrr(jickc)．定理1：矩阵A初等行变换，初等矩阵左乘E(f)A；初等列变换，初等矩阵右乘AE(f)．定理2：方阵A可逆的充要条件：存在有限个初等矩阵E1(f)。E2(f)，…，El(f)，使A=E1(f)E2(f)…El(f)．推论1：方阵A可逆EA~．推论2：BA~存在可逆矩阵P与Q，使PAQ=B．重要性质：方阵A可逆，则(A，E)～(E，A-1)．(A，B)～(E，A-1B)，bxA，x=A-1b(A，b)～(E，x)11~CAECACAYc或))(,(~),()()(TTTTTTTTCAECACACAY111r矩阵的秩：标准型F中非零行的行数r，记R(A)．且r+1阶子式全等于零，r阶非零子式称A的最高阶非零子式。矩阵A的k阶子式：取A中k行与k列交叉处的k2个元素且不改变对应位置组成的k阶行列式。rcr·r·r·r·定义：零矩阵的秩为0；满秩矩阵（可逆矩阵），降秩矩阵（不可逆即奇异矩阵）。矩阵秩的性质：①0≤R(Am×n)≤min{m，n}；②R(AT)=R(A)；③若BA~，则R(A)=R(B)；④若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)；⑤max{R(A)，R(B)}≤R(A，B)≤R(A)+R(B)，特例，当B=b为列向量时，有R(A)≤R(A，b)≤R(A)+1；⑥R(A+B)≤R(A)+R(B)；⑦R(AB)≤min{R(A)，R(B)}；⑧若Am×nBn×l=0，则R(A)+R(B)≤n．定理4：n元线性方程组bxA（i）无解的充分必要条件是),()(bAARR；（ii）有惟一解的充分必要条件是nRR),()(bAA；（iii）有无限多解的充分必要条件是nRR),()(bAA．线性方程组有解，称它相容；无解，就称它不相容．定理5：线性方程组bAx有解的充要条件是),()(bAARR．定理6：n元齐次线性方程组0Ax有非零解的充要条件是nR)(A．定理7：矩阵方程BAX有解的充要条件是),()(BAARR．定理8：设CAB，则)}(),(min{)(BACRRR．定理9：矩阵方程OXAlnnm只有零解的充要条件是nR)(A．第四章向量组的线性相关性注：列向量用黑体小写字母a、b、α、β等表示，行向量则用Ta、Tb、Tα、Tβ等表示，若无指明均当列向量．定义：向量b能由向量组A线性表示：b=λ1a1+λ2a2+…+λmam(λi为实数)或可记为Axb(x为一列向量)．n维向量(组)：向量(组中每个向量)由n个数组成。向量组等价：两向量组能相互线性表示．向量组A线性相关：k1a1+k2a2+…+kmam=0（ki不全为0)，反之线性无关。向量组的秩：从向量组A中可选出r个向量线性无关，且任意r+1向量都线性相关，r为秩，记RA．性质：矩阵A与B行等价，则A的行向量组与B的行向量组等价；列等价，则列向量组等价．定理1：向量b能由向量组A：a1，a2，…，am线性表示的充要条件是R(A)=R(A，b)．定理2：向量组B：b1，b2，…，bl能由向量组A：a1，a2，…，am线性表示的充要条件是R(A)=R(A，B)．推论：向量组A：a1，a2，…，am与向量组B：b1，b2，…，bl等价的充要条件是R(A)=R(B)=R(A，B)．定理3：若向量组B：b1，b2，…，bl能由向量组A：a1，a2，…，am线性表示，则R(B)≤R(A)．逆阵推广：n维单位坐标向量组E：e1，e2，…，el能由n维向量组A：a1，a2，…，am线性表示的充要条件是R(A)=n．定理4：向量组A：a1，a2