§2.2离散型随机变量及其分布律

§2.2离散型随机变量及其分布律一、离散型随机变量的分布律二、常见离散型随机变量的概率分布三、离散型随机变量的分布函数下页上页返回如果随机变量X的取值是有限个或可列无穷个，则称X为离散型随机变量.一、离散型随机变量的分布律1.离散型随机变量定义2.离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的所有可能取值为，，，，nxxx21并设,2,1npxXPnn则称上式为离散型随机变量X的分布律.或称X1x2x，nxP1p2p，np为离散型随机变量X的分布律.下页上页返回说明2.离散型随机变量的分布律或离散型随机变量可完全由其分布律来刻划．即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这些值的概率唯一确定．离散型随机变量的分布律可表示为nnpppxxxX2121~,2,1npxXPnn或Xkpnxxx21nppp21下页上页返回;,2,1,0)1(kpk.1)2(1kkp3.离散型随机变量的分布律性质另外，可以证明:(1)某一个离散型随机变量的分布律必须满足以上二个性质；(2)满足以上二个性质的一列实数一定是某一个离散型随机变量的分布律.下页上页返回例1从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布律.解：X的取值为5，6，7，8，9，10．并且X为离散型1065，，，k51041CCkkXP则X的分布律可写为X5678910P25212525252152523525270252126验证？分布函数？下页上页返回例2将1枚硬币掷3次，令X：出现的正面次数与反面次数之差．试求X的分布律．解：X的取值为并且X为离散型则X的分布律可写为-3，-1，1，3．X-3-113P818383813213XP1XP323全为反面1正2反1XP2正1反3233XP全为正面321验证？分布函数？下页上页返回例3设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求X的分布律.(信号灯的工作是相互独立的).P{X=3}=(1-p)3p,通过的概率为每组信号灯禁止汽车设p则有kpX43210ppp)1(pp2)1(pp3)1(4)1(p下页上页返回代入得将21pXkp432105.025.0125.00625.00625.0下页上页返回例4设随机变量X的分布律为，，2141ncnXPn．试求常数c得解：由随机变量的性质，1nnXP1141nnc该级数为等比级数，故有41141c141nnc1c31得3c下页上页返回设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律为Xkp0p11p则称X服从(0—1)分布或两点分布.1.两点分布(Bernoulli分布)二、常见离散型随机变量的概率分布pBX，记作1~也称为随机变量X服从参数为p的Bernoulli分布．为参数其中10p(1重Bernoulli概型)下页上页返回实例1“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.随机变量X服从(0—1)分布.,1)(eXX,0,正面当e.反面当eXkp012121其分布律为下页上页返回实例2200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定,0,1X取得不合格品,取得合格品.则随机变量X服从(0—1)分布.Xkp0120019020010下页上页返回两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明下页上页返回2.等可能分布(离散型均匀分布)如果随机变量X的分布律为实例抛掷骰子并记出现的点数为随机变量X,Xkp161234566161616161则有.,)(),(服从等可能分布则称其中XjiaajiXkpnaaa21nnn111(古典概型)下页上页返回3.二项分布如果随机变量X的分布律为nknknnkpqpknpqnqpnkX1110).,(~pnBX二项分布1n两点分布的二项分布，，服从参数为称随机变量pnX记为二项分布的概率背景进行n重Bernoulli试验，设在每次试验中pAPpAP1q令X：在这次Bernoulli试验中事件A发生的次数．pnBX，则~(n重Bernoulli概型)下页上页返回二项分布的图形下页上页返回例如在相同条件下相互独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,则击中目标的次数X服从B(5,0.6)的二项分布.5)4.0(44.06.015324.06.025234.06.0354.06.045456.0Xkp012345分布律的验证下页上页返回⑵．又由二项式定理，可知分布律的验证⑴．由于10p以及n为自然数，可知nkppCknkkn，，，10011110nnkknkknppppC所以nkppCkXPknkkn，，，101是分布律．下页上页返回?)20,,1,0(20.20,2.0.1500,一级品的概率是多少只只元件中恰有问只现在从中随机地抽查级品率为已知某一大批产品的一时的为一级品小用寿命超过某种型号电子元件的使按规定kk分析这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理..2020,重伯努利试验只元件相当于做检查一级品看成是一次试验把检查一只元件是否为例5解,20只元件中一级品的只数记以X),2.0,20(~BX则因此所求概率为.20,,1,0,)8.0()2.0(20}{20kkkXPkk下页上页返回解,20只元件中一级品的只数记以X),2.0,20(~BX则因此所求概率为.20,,1,0,)8.0()2.0(20}{20kkkXPkk012.0}0{XP058.0}1{XP137.0}2{XP205.0}3{XP218.0}4{XP175.0}5{XP109.0}6{XP055.0}7{XP022.0}8{XP007.0}9{XP002.0}10{XP时当11,001.0}{kkXP下页上页返回图示概率分布下页上页返回.,400,02.0,率试求至少击中两次的概次独立射击设每次射击的命中率为某人进行射击解,X设击中的次数为).02.0,400(~BX则的分布律为X,)98.0()02.0(400}{400kkkkXP.400,,1,0k因此}1{}0{1}2{XPXPXP399400)98.0)(02.0(400)98.0(1.9972.0例6下页上页返回由此可知，二项分布的分布二项分布的分布形态则，，若pnBX~pqkqkpnkXPkXP1111kXP先是随着k的增大而增大，达到其最大值后再随着k的增大而减少．这个使得kXP能次数．称为该二项分布的最可达到其最大值的0k可以证明：；不是整数，则如果pnkpn110；或则是整数如果111,10pnpnkpn下页上页返回例7对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.44，试求300次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli试验．解：令：．射击中命中目标的次数：300X则由题意．，44.0300~BX，由于44.13244.01300.它不是整数因此，最可能射击的命中次数为13244.1320k其相应的概率为16813213230056.044.0132CXP04636.0下页上页返回例8有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?),0001.0,1000(~BX99910009999.00001.0110009999.01设1000辆车通过,出事故的次数为X,故所求概率为}1{}0{1}2{XPXPXP解则几乎算不了.60.904923381.040.90483289180.00467476下页上页返回Poisson定理有关．它与试验总数概率在试验中发生的代表事件以试验中设在nApBernoullin,,0limnnnpekppCkknnknknn！则1lim如果证明：nnnp令：knnknknppC1则knnknnnkknnnn1121！knnknnnknnk1112111!下页上页返回对于固定的k，有nnnnnplimlim由kknnlimknnnn1limnnnknnnnn1lime所以knnknknnppC1limknnknnnnknnk1112111!limknnnnknnnnknnk1lim112111limlim!1ekk！只有k项下页上页返回由Poisson定理，可知，，若随机变量pnBX~比较小时，比较大，则当pnnpknkknppCkXP1ekk!令则有Poisson定理有关．它与试验总数概率在试验中发生的代表事件以试验中设在nApBernoullin,,0limnnnpekppCkknnknknn！则1lim如果下页上页返回4.泊松分(Poisson)分布如果随机变量X的分布律为!e}{kkXPk,,2,1,0k.0是常数其中,的泊松分布服从参数为则称X).()(~或记为PX分布律的验证⑴由于,0可知对任意的自然数k，有0!ekk⑵又由幂级数的展开式，可知0!kkekee1所以是分布律.0!kkke下页上页返回泊松分布的图形下页上页返回Poisson分布的应用Poisson分布是概率论中重要的分布之一．自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布．二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.例如下页上页返回地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数、容器在某一时间间隔内产生的细菌数、某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的．在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布也是常见的.例如下页上页返回电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水下页上页返回由Poisson定理得二项分布泊松分布)(nnp，，若随机变量pnBX~比较小时，比较大，则当pnnpknkknppCkXP1ekk!令则有下页上页返回例8'有一繁忙的汽车站,每天有