空间向量与空间角练习题

课时作业(二十)[学业水平层次]一、选择题1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为()A．30°B．150°C．30°或150°D．以上均不对【解析】l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为0，π2.应选A.【答案】A2．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为()A.52266B．－52266C.52222D．－52222【解析】AB→＝(2，－2，－1)，CD→＝(－2，－3，－3)，∴cos〈AB→，CD→〉＝AB→·CD→|AB→||CD→|＝53×22＝52266，∴直线AB、CD所成角的余弦值为52266.【答案】A3．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1.则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．于是AD→＝(0,1,0)．取PD中点为E，则E0，12，12，∴AE→＝0，12，12，易知AD→是平面PAB的法向量，AE→是平面PCD的法向量，∴cosAD→，AE→＝22，∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.【答案】B4．(2014·陕西师大附中高二检测)如图3­2­29，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCD—A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E、F分别为C1D1、A1B的中点，则二面角B1­A1B­E的余弦值为()图3­2­29A．－33B．－32C.33D.32【解析】设AD＝1，则A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因为E、F分别为C1D1、A1B的中点，所以E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以A1E→＝(－1,1,0)，A1B→＝(0,2，－2)，设m＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则A1E→·m＝0，A1B→·m＝0，所以－x＋y＝0，2y－2z＝0，所以y＝x，y＝z，取x＝1，则y＝z＝1，所以平面A1BE的一个法向量为m＝(1,1,1)，又DA⊥平面A1B1B，所以DA→＝(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量，所以cos〈m，DA→〉＝m·DA→|m||DA→|＝13＝33，又二面角B1­A1B­E为锐二面角，所以二面角B1­A1B­E的余弦值为33，故选C.【答案】C二、填空题5．棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________．【解析】依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，M1，12，1，C(0,1,0)，N1，1，12，∴AM→＝0，12，1，CN→＝1，0，12，∴cos〈AM→，CN→〉＝1252·52＝25，故异面直线AM与CN所成角的余弦值为25.【答案】256．(2014·临沂高二检测)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2,0)、B(2,1，6)，则向量AB→与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________．【解析】设平面xOz的法向量为n＝(0，t,0)(t≠0)，AB→＝(1,3，6)，所以cos〈n，AB→〉＝n·AB→|n|·|AB→|＝3t4|t|，因为〈n，AB→〉∈[0，π]，所以sin〈n，AB→〉＝1－3t4|t|2＝74.【答案】747．已知点E，F分别在正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．【解析】如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．所以A(1,0,0)，E1，1，13，F0，1，23，所以AE→＝0，1，13，EF→＝－1，0，13，则n2·AE→＝0，n2·EF→＝0，即y＋13z＝0，－x＋13z＝0.取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3)．所以cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝31111.所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cosα＝31111，sinα＝2211，所以tanα＝23.【答案】23三、解答题8.如图3­2­30所示，在四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2.图3­2­30(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．【解】(1)证明：连结OC，由题意知BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD.又BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD.在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝3，又AC＝2，∴AO2＋CO2＝AC2，∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC.∵BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD.(2)以O为坐标原点建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，3，0)，A(0,0,1)，E12，32，0，∴BA→＝(－1,0,1)，CD→＝(－1，－3，0)，∴cos〈BA→，CD→〉＝BA→·CD→|BA→|·|CD→|＝24.∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为24.9．四棱锥P­ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；(2)当PD＝2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．【解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设AB＝a，PD＝h，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，(1)∵AC→＝(－a，a,0)，DP→＝(0,0，h)，DB→＝(a，a,0)，∴AC→·DP→＝0，AC→·DB→＝0，∴AC⊥DP，AC⊥DB，又DP∩DB＝D，∴AC⊥平面PDB，又AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.(2)当PD＝2AB且E为PB的中点时，P(0,0，2a)，E12a，12a，22a，设AC∩BD＝O，Oa2，a2，0，连结OE，由(1)知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，∵EA→＝12a，－12a，－22a，EO→＝0，0，－22a，∴cos∠AEO＝EA→·EO→|EA→|·|EO→|＝22，∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.[能力提升层次]1．已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为()A．60°B．90°C．45°D．以上都不对【解析】以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，所以A1E→＝(0,1，－1)，D1E→＝(1,1，－1)，EA→＝(0，－1，－1)．设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·A1E→＝0，n·D1E→＝0⇒y－z＝0，x＋y－z＝0.令z＝1，得y＝1，x＝0，所以n＝(0,1,1)，cos〈n，EA→〉＝n·EA→|n||EA→|＝－22·2＝－1.所以〈n，EA→〉＝180°.所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.【答案】B2．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a＞0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.【解析】平面xOy的法向量为n＝(0,0,1)，设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，则－3x＋4y＝0，－3x＋az＝0，即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝a3，a4，1.而cos〈n，u〉＝1a29＋a216＋1＝22，又∵a＞0，∴a＝125.【答案】1253.三棱柱ABC­A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()图3­2­31A.55B.53C.255D.35【解析】不妨设CA＝CC1＝2CB＝2，则AB1→＝(－2,2,1)，C1B→＝(0，－2,1)，所以cos〈AB1→，C1B→〉＝AB1→·C1B→|AB1→||C1B→|＝－2×0＋2×－2＋1×19×5＝－55.因为直线BC1与直线AB1夹角为锐角，所以所求角的余弦值为55.【答案】A4.如图，在直三棱柱A1B1C1­ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．图3­2­32(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．【解】(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以A1B→＝(2,0，－4)，C1D→＝(1，－1，－4).因为cos〈A1B→，C1D→〉＝A1B→·C1D→|A1B→||C1D→|＝1820×18＝31010，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为AD→＝(1,1,0)，AC1→＝(0,2,4)，所以n1·AD→＝0，n1·AC1→＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.由|cosθ|＝n1·n2|n1|·|n2|＝29×1＝23，得sinθ＝53.因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为53.