古典概型的特征和概率计算公式(1)

古典概型的特征和概率计算公式你参加过“抽奖”吗？活动规则4人按顺序摸球,摸到白球为中奖不透明的袋子里面装了有2黑2白，除颜色外完全相同的4个球.摸奖的顺序不影响中奖率如何从理论上计算每个人的得奖率呢？掷硬币实验摇骰子实验转盘实验试验一：抛掷一枚均匀的硬币，试验的结果有__个，其中出现“正面朝上”的概率＝___.出现“反面朝上”的概率=___.试验二：掷一粒均匀的骰子，试验结果有___个，其中出现“点数5”的概率＝___.试验三：转8等分标记的转盘，试验结果有___个，出现“箭头指向4”的概率＝___.上述三个试验有什么特点？20.50.5616818归纳上述三个试验的特点：1、试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.2、每一个试验结果出现的可能性相同.我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型（古典的概率模型）.古典概型试验的每一个可能结果称为基本事件有限性等可能性掷硬币实验摇骰子实验转盘实验．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1、向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？〖解〗因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第一个条件.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2、如图，射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中1环和命中0环.你认为这是古典概型吗？为什么？〖解〗不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有11个，而命中10环、命中9环……命中1环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件.掷一粒均匀的骰子，骰子落地时向上的点数为2的概率是多少？点数为4的概率呢？点数为6的概率呢？骰子落地时向上的点数为偶数的概率是多少？分析：用事件A表示“向上的点数为偶数”，则事件A由“点数为2”、“点数为4”、“点数为6”三个可能结果组成，又出现“点数为2”的概率为，出现“点数为4”的概率为，出现“点数为6”的概率为，且A的发生，指三种情形之一的出现，因此即骰子落地时向上的点数为偶数的概率是.31().62PA思考：在古典概型中如何求随机事件发生的概率？16161612古典概型中，试验的所有可能结果（基本事件）数为n，随机事件A包含m个基本事件，那么随机事件A的概率规定为：应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.()事件A包含的可能结果数试验的所有可能结果数mPAn如图，转动转盘计算下列事件的概率：（1）箭头指向8；（2）箭头指向3或8；（3）箭头不指向8；（4）箭头指向偶数；18147812例1在一个健身房里，用拉力器进行锻炼时，需要选取2个质量盘装在拉力器上.有2个装质量盘的箱子，每个箱子中都装有4个不同的质量盘：2.5kg、5kg、10kg和20kg，每次都随机地从2个箱子中各取1个质量盘装在拉力器上后，再拉动这个拉力器.（1）随机地从2个箱子中各取1个质量盘，共有多少种可能的结果？用表格列出所有可能的结果.（2）计算选取的两个质量盘的总质量分别是下列质量的概率.（ⅰ）20kg；（ⅱ）30kg；（ⅲ）不超过10kg；（ⅳ）超过10kg.（3）如果一个人不能拉动超过22kg的质量，那么他不能拉开拉力器的概率是多少？解：（1）第一个箱子的质量盘和第二个箱子的质量盘都可以从4种不同的质量盘中任意选取.我们可以用一个“有序实数对”来表示随机选取的结果.例如，我们用（10，20）来表示：在一次随机的选取中，从第一个箱子取的质量盘是10kg，从第二个箱子取的质量盘是20kg，表1列出了所有可能的结果.表1从上表中可以看出，随机地从2个箱子中各取1个质量盘的所有可能结果数有16种.由于选取质量盘是随机的，因此这16种结果出现的可能性是相同的，这个试验属于古典概型.（2）表240302522.52030201512.5102515107.5522.512.57.552.5201052.5总质量第二个质量第一个质量（ⅰ）用A表示事件“选取的两个质量盘的总质量是20kg”，因为总质量为20kg的所有可能结果只有1种，因此，事件A的概率P(A)==0.0625.（ⅱ）用B表示事件“选取的两个质量盘的总质量是30kg”，从表2中可以看出，总质量为30kg的所有可能结果共有2种，因此事件B的概率P(B)===0.125.11621618（ⅲ）用C表示事件“选取的两个质量盘的总质量不超过10kg”，总质量不超过10kg，即总质量为5kg，7.5kg，10kg，从表2中容易看出，所有可能结果共有4种，因此，事件C的概率P(C)===0.25.（ⅳ）用D表示事件“选取的两个质量盘的总质量超过10kg”，总质量超过10kg，即总质量为12.5kg，20kg，15kg，22.5kg，25kg，30kg，40kg，从表2中可以看出，所有可能结果共有12种，因此，事件D的概率P(D)===0.75.41614121634（3）用E表示事件“不能拉开拉力器”，即总质量超过了22kg，总质量超过22kg是指总质量为22.5kg，25kg，30kg，40kg，从表2中可以看出，这样的可能结果共有7种，因此，不能拉开拉力器的概率P(E)=≈0.44.716规律方法：在这个例子中，用列表的方法列出了所有可能的结果.在计算古典概率时，只要所有可能结果的数量不是很多，列举法是我们常用的一种方法.求古典概型的步骤：•（1）判断是否为等古典概型；•（2）列举所有基本事件的总结果数n．•（3）列举事件A所包含的结果数m．•（4）计算当结果有限时，列举法是很常用的方法67891011例：（掷骰子问题）：将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数.问:（1）共有多少种不同的结果?（2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？（3）两数之和是3的倍数的概率是多少？第一次抛掷后向上的点数123456第二次抛掷后向上的点数654321解：（1）将骰子抛掷1次，它出现的点数有1，2，3，4，5，6这6种结果，对于每一种结果，第二次抛时又都有6种可能的结果，于是共有6×6=36种不同的结果。2345673456784567897891011125678910123456第一次抛掷后向上的点数789101112678910115678910456789345678234567654321第二次抛掷后向上的点数（2）记“两次向上点数之和是3的倍数”为事件A，则事件A的结果有12种。（3）两次向上点数之和是3的倍数的概率为：121()363PA解：记“两次向上点数之和不低于10”为事件B，则事件B的结果有6种，因此所求概率为：61()366PB123456第一次抛掷后向上的点数789101112678910115678910456789345678234567654321第二次抛掷后向上的点数变式1：两数之和不低于10的结果有多少种？两数之和不低于10的的概率是多少？123456第一次抛掷后向上的点数789101112678910115678910456789345678234567654321第二次抛掷后向上的点数变式２：点数之和为质数的概率为多少？变式３：点数之和为多少时，概率最大且概率是多少？155()3612PC点数之和为7时，概率最大，61()366PD且概率为：7891011126789101156789104567897345678234567单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考察的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件共有4个，考生随机地选择一个答案即选择A，B，C，D的可能性是相等的.从而由古典概型的概率计算公式得：10.254P“答对”所包含的基本事件的个数（“答对”）＝＝＝基本事件的总数1．古典概型：我们将具有：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）（2）每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）这样两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型.2．古典概型计算任何事件的概率计算公式为：3．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数时常用的方法是列举法，注意做到不重不漏.AA事件包含的可能结果数（）＝试验的所有可能结果数P