内点法的基本原理以及举例计算

一、内点法1.基本原理内点法的特点是将构造的新的无约束目标函数——惩罚函数定义在可行域内，并在可行域内求惩罚函数的极值点，即求解无约束问题时的探索点总是在可行域内部，这样，在求解内点惩罚函数的序列无约束优化问题的过程中，所求得的系列无约束优化问题的解总是可行解，从而在可行域内部逐步逼近原约束优化问题的最优解。。内点法是求解不等式约束最优化问题的一种十分有效方法，但不能处理等式约束。因为构造的内点惩罚函数是定义在可行域内的函数，而等式约束优化问题不存在可行域空间，因此，内点法不能用来求解等式约束优化问题。对于目标函数为min()fXs.t.()0ugX（u=1,2,3,…m）的最优化问题，利用内点法进行求解时，构造惩罚函数的一般表达式为()()11(,)()()mkkuuXrfXrgX或者11(,)()ln()()ln()mmkkkuuuuXrfXrgXfXrgX而对于()fX受约束于()0(1,2,,)ugXum的最优化问题，其惩罚函数的一般形式为11(,)()()mkkuuXrfXrgX或1(,)()ln()mkkuuXrfXrgX式中，kr-----惩罚因子，是递减的正数序列，即01210kkrrrrrlim0kkr通常取1.0,0.1,0.01,0.001,kr。上述惩罚函数表达式的右边第二项，称为惩罚项，有时还称为障碍项。说明：当迭代点在可行域内部时，有()0ugX（u=1，2，3，4，…m），而0kr，则惩罚项恒为正值，当设计点由可行域内部向约束边界移动时，惩罚项的值要急剧增大并趋向无穷大，于是惩罚函数的值也急剧增大直至无穷大，起到惩罚的作用，使其在迭代过程中始终不会触及约束边界。2.内点法的迭代步骤（1）取初始惩罚因子(0)0r，允许误差0；（2）在可行域D内取初始点0X，令1k；（3）构造惩罚函数(,)kXr，从(1)kX点出发用无约束优化方法求解惩罚函数(,)kXr的极值点()kXr；（4）检查迭代终止准则：如果满足1571()()1010kkXrXr或13421(,)(,)1010(,)kkkXrXrXr则停止迭代计算，并以()kXr为原目标函数()fX的约束最优解，否则转入下一步；根据情况，终止准则还可有如下的形式：1()()kkfXfX或11()mkuurgX或1ln()mkuurgX5）取10,(),1kkkrCrXXrkk，转向步骤3）。递减系数0.10.5C，常取0.1，亦可取0.02。采用内点法应注意的几个问题：（1）初始点0X的选取初始点0X必须严格在可行域内，满足所有的约束条件，避免为约束边界上的点。如果约束条件比较简单，可以直接人工输入；若问题比较复杂，可采用随机数的方式产生初始点0X，具体方程参照复合形法介绍。（2）关于初始惩罚因子(0)r的选择。实践经验表明，初始惩罚因子(0)r选的恰当与否，会显著地影响内点法的收敛速度，甚至解题的成败。若0r值选得太小，则在新目标函数即惩罚函数(,)kXr中惩罚项的作用就会很小，这时求(,)kXr的无约束极值，犹如原目标函数()fX本身的无约束极值，而这个极值点又不大可能接近()fX的约束极值点，且有跑出可行域的危险。相反，若0r值取得过大，则开始几次构造的惩罚函数(,)kXr的无约束极值点就会离约束边界很远，将使计算效率降低。可取0r1～50，但多数情况是取01r。通常，当初始点0X是一个严格的内点时，则应使惩罚项0011()muurgX在新目标函数(,)kXr中所起的作用与原目标函数0()fX的作用相当，于是得0001()1()muufXrgX倘若约束区域是非凸的且初始点0X亦不靠近约束边界，则0r的取值可更小，约为上式算得值的0.1～0.5倍。从点出发求解：(0)1,,,rC开始在可行域内选取(0)Xk=1(1)kX()*()min(,),X()kkXrr得11()()kkXrXr1()()kkfXfX(1)()kkrCr1kk**()()kXXr**()()(())kfXfXr停止内点法的计算程序框图例题：用内点法求min2212()fXxxs.t.1()10gXx（u=1,2,3,…m）的约束最优解。（取0.001）解：构造内点惩罚函数为22()1211(,)()ln()ln(1)mkkkuuXrfXrgXxxrx用极值条件进行求解()111201krxxx，2220xx联立上式求得()*()1112()2kkrxr，*()2()0kxr由于约束条件的限制，可得无约束极值点为()*()112(),02TkkrXr当()kr取1，0.1,0.01,…→0时，可得最优解为*[1,0]TX，*()1fX编程方式实现：1.惩罚函数functionf=fun(x,r)f=x(1,1)^2+x(2,1)^2-r*log(x(1,1)-1);2.步长的函数functionf=fh(x0,h,s,r)%h为步长%s为方向%r为惩罚因子x1=x0+h*s;f=fun(x1,r);3.步长寻优函数functionh=fsearchh(x0,r,s)%利用进退法确定高低高区间，利用黄金分割法进行求解h1=0;%步长的初始点st=0.001;%步长的步长h2=h1+st;f1=fh(x0,h1,s,r);f2=fh(x0,h2,s,r);iff1f2h3=h2+st;f3=fh(x0,h3,s,r);whilef2f3h1=h2;h2=h3;h3=h3+st;f2=f3;f3=fh(x0,h3,s,r);endelsest=-st;v=h1;h1=h2;h2=v;v=f1;f1=f2;f2=v;h3=h2+st;f3=fh(x0,h3,s,r);whilef2f3h1=h2;h2=h3;h3=h3+st;f2=f3;f3=fh(x0,h3,s,r);endend%得到高低高的区间a=min(h1,h3);b=max(h1,h3);%利用黄金分割点法进行求解h1=1+0.382*(b-a);h2=1+0.618*(b-a);f1=fh(x0,h1,s,r);f2=fh(x0,h2,s,r);whileabs(a-b)0.0001iff1f2a=h1;h1=h2;f1=f2;h2=a+0.618*(b-a);f2=fh(x0,h2,s,r);elseb=h2;h2=h1;f2=f1;h1=a+0.382*(b-a);f1=fh(x0,h1,s,r);endendh=0.5*(a+b);4.迭代点的寻优函数functionf=fsearchx(x0,r,epson)x00=x0;m=length(x0);s=zeros(m,1);fori=1:ms(i)=1;h=fsearchh(x0,r,s);x1=x0+h*s;s(i)=0;x0=x1;endwhilenorm(x1-x00)epsonx00=x1;fori=1:ms(i)=1;h=fsearchh(x0,r,s);x1=x0+h*s;s(i)=0;x0=x1;endendf=x1;5.主程序clearclcx0=[2;2];%给定初始点r=1;c=0.1;epson=0.001;x1=fsearchx(x0,0.1,epson);whilenorm(x0-x1)epsonx0=x1;r=r*c;x1=fsearchx(x0,r,epson);enddisp'函数的最优解为'x1运行结果：函数的最优解为x1=1.0475-0.0005