《直梁的弯曲》PPT课件

1直梁的弯曲第3章2第3章直梁的弯曲3.1梁的弯曲实例与概念3.2梁横截面上的内力—剪力与弯矩3.3弯矩方程与弯矩图3.4弯曲时横截面上的正应力及其分布规律3.5梁弯曲时的强度条件3.6梁截面合理形状的选择3.7梁的弯曲变形梁的弯曲是材料力学最重要的内容。33.1梁的弯曲实例与概念以弯曲变形为主的杆件在工程上统称为梁。受力特点：力垂直于构件的轴线(力偶在轴线平面)；变形特点：弯曲变形。4桥式吊车5火车轮轴6车削工件7①梁有纵向对称面；②载荷均作用在纵向对称面内，各个力垂直梁轴线；③变形后梁的轴线在纵向对称面内弯成平面曲线。平面弯曲的概念平面弯曲是工程中最常见也是最简单的一种弯曲。本章讨论平面弯曲。RARBPqM8梁的分类悬臂梁简支梁Pq外伸梁PMP简支梁、外伸梁两个支座之间的距离称为梁的跨度。93.2梁横截面上的内力—剪力和弯矩一、截面法求内力—剪力与弯矩梁横截面上的内力仍用截面法求。【例】有一简支梁AB，梁上有集中载荷P，求截面上1-1与2-2的内力。10（1）以梁为研究对象，先求支座反力RA、RB()00ABmRlPaFBPaRl00yABFRRPABlaRPRPl11（2）用截面法求1-1上的内力。内力Q1—剪力（平行横截面）100yAFRQ1AQR12内力偶矩M1—弯矩(在纵向对称面内，作用在横截面上)11()00OAmMRxFO—横截面的形心11AMRx（3）用截面法求2-2上的内力。200yAFRPQ2AQRP此处书上有错误截面2-2上也有剪力弯矩13222()0()0OAmMRxPxaF222()AMRxPxa200yAFRPQ2AQRPa思考：如果取右半段如何？数值相同，方向相反注意这里Q2为负14二、弯矩正负号规定MM使梁上凹下凸为正，反之为负。MM正负剪力对细长梁的变形和破坏影响很小，以下不再讨论。15弯矩的快捷计算11AMRx222()AMRxPxa梁内任一横截面上的弯矩，在数值上等于该截面任一侧梁上所有外力对截面中心的力矩的代数和。力矩左顺右逆为正（无论左右侧，向上外力为正）。M=ΣMO(F)一般形式注意外力偶16【例】用简便方法求梁截面1-1、2-2处的弯矩。（1）求1-1截面弯矩。截开取左侧，弯矩一律按正向画解11Mqlx（2）求2-2截面弯矩。22221()2Mqxaqlxq(x2-a)(x2-a)/2173.3弯矩方程与弯矩图一、弯矩方程画弯矩图时，先要建立弯矩方程，再根据弯矩方程画弯矩图。M=f(x)弯矩一般随着梁的截面位置x而变化，M是x函数，用函数关系式表示：——弯矩方程18二、弯矩图在机械工程中习惯将：正弯矩画在x轴上面，负弯矩画在x轴下面。以横坐标x表示梁的截面位置，纵坐标表示弯矩所做图形成为弯矩图。19【例3-1】简支梁在C处受集中载荷P作用，试画出它的弯矩图。解：①求支座反力()00ABmRlPaFBPaRl()00BAmPbRaFAPbRl②建立弯矩方程集中力作用在C，C点两侧弯矩方程不同，应分2段考虑。20AC段：1111(0)APbMRxxxalCB段：2222()()()BPaMRlxlxaxll21③画弯矩图1111(0)APbMRxxxal222()()PaMlxaxllA点弯矩：0AMC点弯矩：CPabMlB点弯矩：0BM最大弯矩产生在C截面上，截面C是危险截面。④找最大弯矩maxPabMl若a=b,Mmax=Pl/424【例3-3】一简支梁AB长l，受均布载荷q作用。试画弯矩图。解：①求支座反力载荷均布，支座对称布置，两支座反力相等。2ABqlRR②列弯矩方程2222AxqlqxMRxqxx可见M是x的二次抛物线，弯矩图是抛物线。25③画弯矩图画二次抛物线，确定几个特征点。00Ml3l/4l/2l/40x2332ql218ql2332ql2max18Mql0,02dMqlqxdx2lx故有：④找最大弯矩222qlqxMx26【例3-4】一简支梁AB，中部C点受力偶m作用，跨度为l。力偶离左端A点距离为a，离右端B点距离为b，试画出梁的弯矩图。解：①求支座反力载荷是力偶，两支座反力组成力偶。ABmRRl②列弯矩方程AC段：1111(0)AmMRxxxal110,0xM11,mxaMal27BC段：22222()AxlmMRxmxmmaxbll②画弯矩图22,bxaMml22,0xlM集中力偶作用处，弯矩发生突变。突变大小=力偶矩()ababmmmmlll28最大弯矩在力偶作用的截面上。max||aMml当a＞b时maxbMml当b＞a时③找最大弯矩29画弯矩图总结归纳梁受集中力作用时，弯矩图必为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折。梁受力偶作用时，弯矩图也是直线，但在力偶作用处，弯矩发生突变，突变的大小等于力偶矩。梁受均布载荷作用时，弯矩图必为抛物线，如均布载荷向下，则抛物线开口向下，均布载荷向上，则抛物线开口向上。3031【例3-6】用简捷方法画出悬臂梁的弯矩图。0AMBBMMPa左右220cMPaPa32【例3-7】外伸梁受载荷如图所示，已知q和a值，画出此梁的弯矩图。解①求支座反力()0AmF5202BaRaPaqa74BRqa0yF0ABRRPqa14ARqa33②求ABCD点的弯矩0AM214CAMRaqa2211242BAMRaPaqaaqaaqa0DM③在弯矩图上定出A’C’B’D’各点，直接画弯矩图AC、CB段：直线BD段：开口向下的抛物线，多取几点画之。A’C’B’D’④找危险截面B，|Mmax|=1/2qa234353.4弯曲时横截面上的正应力及其分布规律CD：截面只有弯矩M，而无剪力Q，称为纯弯曲一般：截面上同时有弯矩M和剪力Q，称为横力弯曲。QQ=0PMM=PaPPaa纯弯曲ABCD36现在研究纯弯曲时梁的变形规律mmnnaabbMMmnnmaabbdMM变形后横向线m-m、n-n仍保持直线，但相对转过一个角度d。纵向线变为弧线，a-a缩短，b-b伸长，但仍与m-m、n-n线正交。弯曲变形的平面假设横截面在弯曲变形后仍保持为平面，只是绕截面内某一轴转动了一个角度。一、纯弯曲时的弯曲变形特征纯弯曲变形实验表面现象推论37重要推论想像梁由许多纵向纤维组成，变形后上面纤维缩短，下面纤维伸长，中间必有一层纤维既不伸长又不缩短，此层称为中性层。平面假设AABBaabbMM中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时各个截面绕着中性轴转动。中性轴通过截面形心。ABBAaabbdMM变形后有中性层存在横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面，只是绕截面内某一轴转动了一个角度。38二、梁弯曲时横截面上的正应力及其分布规律变形几何关系除中性层外，上面纤维aa缩短，下面纤维bb伸长，很显然，各层纤维的绝对变形量△L与该层到中性层的距离y成正比。即：△L∝y梁纯弯曲时，横截面上只有正应力，为研究其分布规律，必须从几何、物理、静力平衡三方面进行分析。39△L∝yΔLyL各层纤维的绝对变形量△L与该层到中性层的距离y成正比。y纯弯曲时，各层纤维的应变与该层到中性层的距离y成正比。40物理关系（应力与变形关系）Eyy横截面上各点的正应力σ的大小与该点到中性轴的距离y成正比。纯弯曲时正应力分布规律：离中性轴越远，应力越大，中性轴上应力为0。中性层的一侧为拉应力，另一侧为压应力。Myσσymaxσmax41距中性轴为y处的正应力σ与距中性轴为ymax的最大应力σmax有如下的关系：maxmaxyy故应力分布规律可以写成maxmaxyyMyσσymaxσmax横截面上最大正应力发生离中性轴最远处,即截面的上下边缘处。M以下推导应力计算公式。42在横截面上距中性轴距离为y处，取微面积dA。作用在微面积dA上的应力为σ，均匀分布。作用在微面积dA上的微内力为σdA。微内力σdA对中性轴的微力矩为yσdA。横截面上所有微力矩的总和就是横截面上的弯矩M。即：AydAMMyσymaxσdAZ：中性轴z静力平衡关系（应力与弯矩的关系）432maxmaxmaxmaxAAAyydAydAydAyyMMyσymaxσdA中性轴AydAMmaxmaxyyJz称为横截面对中性轴z的轴惯性矩，取决于截面尺寸和形状，单位m4。令：2AydAzJ则有：maxmaxyzMJ44maxmaxyzMJmaxmaxyzMJmaxmax/yzMJ令：maxzyzJW称为抗弯截面模量，单位为m3，也取决于截面尺寸和形状Myσσymaxσmax梁弯曲时横截面上最大正应力公式：maxzMW45maxzMW横截面上最大正应力该截面弯矩该截面抗弯截面模量试验和理论分析表明，对于细长梁（跨度与横截面高度之比l/h5）,用此公式计算横力弯曲时的正应力也是足够精确的。46轴惯性矩和抗弯截面模量22332222312hhhzAhybhJydAybdyb312zbhJ矩形截面32max/12/26zzJbhbhyhW2AydAzJ47实心圆截面Zd32dW3Z644dJZ圆环截面4444()(1)6464zDJDd34(1)32zDJDd工字钢截面的惯性矩和抗弯截面模量查教材附表8483.5梁弯曲时的强度条件一、梁的最大正应力梁的危险截面梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上危险截面位于梁中部危险截面位于梁根部梁的最大正应力梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处ZmaxmaxWM49二、梁的强度条件maxmaxZMWMmax梁内最大弯矩WZ危险截面抗弯截面模量[σ]材料的许用应力利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷。50【例3-7】有一型号为16的工字钢截面简支梁，如图所示。已知P=27.5KN。钢材弯曲许用应力[σ]=120MPa，试校核梁的强度。解：最大弯矩发生在集中力P作用处，即梁的中点。3max1127.51024004416500000mmNMPL查附表8，16号工字钢WZ=141cm3=141000mm3。故钢梁的最大正应力为maxmax16500000117.02MPa120MPa141000ZMW此梁安全51【例3-9】悬臂梁由两根工字钢组成，设备总重P（包括物料重）为10kN，设备中心到固定端的距离a=1.5m，L=2.2m，如图所示。钢材弯曲许用应力[σ]=140MPa。试按强度要求选择工字钢尺寸(型号)。解：maxmaxZMWmaxZMW查附表8，选择12.6号工字钢，Wz=77.5cm3，符合要求。max331000015002214053571mm53.57cmZPaMWmax2PaM每一根梁52【例3-10】有一型号为40a的工字钢简支梁，跨度L=8m，弯曲许用应力[σ]=140MPa，求梁能承受的均布载荷q。解：最大弯矩发生在梁的中点，2max8qLM查附表8，40a工字钢的Wz=1090cm3，代入强度条件得：maxmaxZMWmaxZMW28ZqLW2114010900008qL214010900008819075000N/mm19075N/mq53【例3-11】接上例，型号40a工字钢的截面积约为86.1cm2，如果换成矩形截面梁，截面高宽比h/b=2，要求也能承受q=19075N/m均布载荷，试求矩形截面面积。解：矩形截面梁：231090cm6zbhW要求也能承受q=19075N/m均布载荷，矩形截面梁的WZ也应为1090cm3。33210