常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】[例1]bkaann1型。（1）1k时，}{1nnnabaa是等差数列，)(1banban（2）1k时，设)(1makmann∴mkmkaann1比较系数：bmkm∴1kbm∴}1{kban是等比数列，公比为k，首项为11kba∴11)1(1nnkkbakba∴1)1(11kbkkbaann[例2])(1nfkaann型。（1）1k时，)(1nfaann，若)(nf可求和，则可用累加消项的方法。例：已知}{na满足11a，)1(11nnaann求}{na的通项公式。解：∵111)1(11nnnnaann∴nnaann1111112121nnaann213132nnaann……312123aa21112aa对这（1n）个式子求和得：naan111∴nan12（2）1k时，当bannf)(则可设)()1(1BAnakBnAann∴ABkAnkkaann)1()1(1∴bABkaAk)1()1(解得：1kaA，2)1(1kakbB∴}{BAnan是以BAa1为首项，k为公比的等比数列∴11)(nnkBAaBAna∴BAnkBAaann11)(将A、B代入即可（3）nqnf)(（q0，1）等式两边同时除以1nq得qqaqkqannnn111令nnnqaC则qCqkCnn11∴}{nC可归为bkaann1型[例3]nnanfa)(1型。（1）若)(nf是常数时，可归为等比数列。（2）若)(nf可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知：311a，11212nnanna（2n）求数列}{na的通项。解：1235375325212321212122332211nnnnnnnaaaaaaaaaannnnnn∴1211231nnaan[例4]11nnnamamka型。考虑函数倒数关系有)11(11makann∴mkakann111令nnaC1则}{nC可归为bkaann1型。练习：1.已知}{na满足31a，121nnaa求通项公式。解：设)(21mamannmaann21∴1m∴}1{1na是以4为首项，2为公比为等比数列∴1241nna∴121nna2.已知}{na的首项11a，naann21（*Nn）求通项公式。解：)1(21naann)2(221naann)3(232naann……2223aa1212aannnaan21)]1(21[2∴12nnan3.已知}{na中，nnanna21且21a求数列通项公式。解：)1(231422413211122332211nnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnnnn∴)1(21nnaan∴)1(4nnan4.数列}{na中，nnnnnaaa11122，21a，求}{na的通项。解：nnnnnaaa111221∴112111nnnaa设nnab1∴1121nnnbb∴nnnbb211∴nnnbb21112121nnnbb23221nnnbb……32321bb21221bbnnbb212121321nn2121211])21(1[2112∴nnnnb212212121∴122nnna5.已知：11a，2n时，12211naann，求}{na的通项公式。解：设])1([211BnAaBAnannBAAnaann212121211∴12121221BAA解得：64BA∴3641a∴}64{nan是以3为首项，21为公比的等比数列∴1)21(364nnna∴64231nann【模拟试题】1.已知}{na中，31a，nnnaa21，求na。2.已知}{na中，11a，231nnaa（2n）求na。3.已知}{na中，11a，nnnaa221（2n）求na。4.已知}{na中，41a，144nnaa（2n）求na。5.已知}{na中，11a，其前n项和nS与na满足1222nnnSSa（2n）（1）求证：}1{nS为等差数列（2）求}{na的通项公式6.已知在正整数数列}{na中，前n项和nS满足2)2(81nnaS（1）求证：}{na是等差数列（2）若nb3021na，求}{nb的前n项和的最小值【试题答案】1.解：由nnnaa21，得112nnnaa∴112nnnaa2212nnnaa……212aa∴2221)21(211nnnaa∴12221nnnaa2.解：由231nnaa得：)1(311nnaa∴3111nnaa即}1{na是等比数列113)1(1nnaa∴13213)1(111nnnaa3.解：由nnnaa221得12211nnnnaa∴}2{nna成等差数列，)1(212nann∴122nnnna4.解：nnnnaaaa)2(24221∴2121)2(2211nnnnaaaa（1n）∴2121211nnaa（1n）设21nnab即)1(211nbbnn∴}{nb是等差数列∴221)1(21211nnaan22nan5.解：（1）12221nnnnSSSS∴112nnnnSSSS2111nnSS∴}1{nS是首项为1，公差为2的等差数列∴121nSn（2）121nSn∴)2(384211212)121(222nnnnnan又∵11a∴)2(3842112nnnnan6.解：（1）2111)2(81aSa∴21a2n时，2121)2(81)2(81nnnnnaaSSa整理得：0)4)((11nnnnaaaa∵}{na是正整数数列∴01nnaa∴41nnaa∴}{na是首项为2，公差为4的等差数列∴24nan（2）31230)24(21nnbn∴}{nb为等差数列∴nnSn302∴当15n时，nS的最小值为2251530152