三角函数图像与性质

第二讲三角函数的图像与性质三角函数的考试要求层次一、知识精讲1.xyxyxytan,cos,sin及)0,0)(sin(AxAy的图像（1）掌握作函数图像的两种方法：描点法和变换法。理解xysin只有与它跟一次函数的复合函数)0,0)(sin(AxAy之间才符合平移与伸缩变换，从而xAysin())0,0(A的图像也才可以借助于xysin的五个关键点，利用“五点法”作出.（2）变换法作函数图像是一般规律.要掌握以下几种：)(xfy与)(xfy、)(xfy、)(xfy，)(xfy与)(xfy、)(xfy，)(xfy与)0,0)((AxAfy.2.给出图像上的点，求)0,0)(sin(AxAy的解析式考试内容要求层次ABC三角函数、三角恒等变换、解三角形三角函数任意角的概念和弧度制√弧度与角度的互化√任意角的正弦、余弦、正切的定义√用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切√诱导公式√同角三角函数的基本关系式√周期函数的定义、三角函数的周期性√函数sinyx，cosyx，tanyx的图象和性质√函数sin()yAx的图象√用三角函数解决一些简单的实际问题√三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式√二倍角的正弦、余弦、正切公式√简单的恒等变换√解三角形正弦定理、余弦定理√解三角形√振幅A可以由图像直接得到；通过图像求出周期T，再利用2T，求出；代入图象上点的坐标求或找到图像与x轴最近的并在图像上升部分的交点，其横坐标为，从而求得。3.)0,0)(sin(AxAy的性质求)0,0)(sin(AxAy的对称轴、对称中心、单调区间等性质，是非常重要的一类问题，一般有两种方法。一是可以用“五点法”或“变换法”作出其图像，从而求出所需性质；二是用“代入法”，比如要求)0,0)(sin(AxAy的所有对称轴，我们可以先写出sinyx的所有对称轴，即直线,2xkkZ,然后用x代替x，得x2k，解得1()2xk，直线1(),2xkkZ即为所求。4.三角函数的性质定义域、值域、奇偶性、周期性、对称性、单调性.这些性质既可以从图像或定义观察归纳得出，也可以给出严格的数学证明。要重视梳理这些性质的形成过程，从而体会研究函数的一般方法。二、例题解析【基础训练】例1．已知函数3)62sin(3)(xxf．（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；（2）指出)(xf的周期、振幅、初相、对称轴；（3）说明此函数图象可由][0,2sin在xy上的图象经怎样的变换得到.O2232253274xy2例2．函数sin(2)6yx的单调递减区间是（）A．)](23,26[ZkkkB．)](265,26[ZkkkC．)](3,6[ZkkkD．)](65,6[Zkkk例3.已知函数()sin()(0,)2fxx的部分解析式如图所示，则其解析式为__________。例4．已知函数()fx=Acos(x)的图象如图所示，2()23f，则(0)f=（）A．23B．23C．－12D．1221例5.如图，质点p在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p（2，2），角速度为1，那么点p到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为()例6.关于函数()4sin(2)(),3fxxxR有下列命题：①由12()()0fxfx可得12xx必是的整数倍；②()yfx的表达式可改写成4cos(2)6yx；③()yfx的图像关于点(,0)6对称；④()yfx的图像关于直线6x对称．其中正确的命题的序号是．（注：把你认为正确的命题的序号都填上．）例7.将函数sin(2)3yx图象上的点(,)4Pt向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′．若P′位于函数sin2yx的图象上，则（）（A）12t，s的最小值为6（B）32t，s的最小值为6（C）12t，s的最小值为3（D）32t，s的最小值为3【能力提升】例1．已知函数)2||,0,0)(sin()(AxAxf在一个周期内的图象下图所示．（1）求函数的解析式；（2）设x0，且方程mxf)(有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．例2.已知函数()sin(2)fxx，其中为实数，若()()6fxf对xR恒成立，且()()2ff，则()fx的单调递增区间是（）（A）,()36kkkZ（B）,()2kkkZ（C）2,()63kkkZ（D）,()2kkkZ例3．函数()sin()(0)4fxx在区间1,0有且仅有一条对称轴，则的取值范围是．例4.设函数()sin()fxAx（,,A是常数，0,0A）．若()fx在区间[,]62上具有单调性，且2()()()236fff，则()fx的最小正周期为.例5.如果存在正整数和实数使得函数11()cos(22)22fx（，为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么的值为()A．1B．2C．3D.4O1211xy21-2112yOx三、课堂小结四、实战训练【基础训练】1．下列不等式中，正确的是（）A．tan1313tan45B．sin)7cos(5C．sin(π－1)sin1oD．cos)52cos(572．要得到函数xy2sin的图象，可由函数)42cos(xy（）A.向左平移8个长度单位B.向右平移8个长度单位C.向左平移4个长度单位D.向右平移4个长度单位3．函数)32sin(xy的最小正周期是______,它的图象可以由xy2sin的图象向_______个单位得到。4.为了使函数y＝sinωx(ω0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是()A．98πB.1972πC.1992πD．100π5.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是()A．y＝4sin(4)6xB．y＝2sin(2)23xC．y＝2sin(4)23xD．y＝2sin(4)26x6.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω0,0≤φ≤2π)的部分图象如图所示，则()A．ω＝π2，φ＝π4B．ω＝π3，φ＝π6C．ω＝π4，φ＝π4D．ω＝π4，φ＝5π4【能力提升】1．下列关于函数2()logcos()fxx的说法中正确的是（）A．是偶函数，但不是周期函数B．是周期函数，但不是偶函数C．是偶函数，也是周期函数D．不是偶函数，也不是周期函数2.设()fx=22sin(2)abx，其中a，bR，ab0，22cosaab，tanba若()()6fxf对一切则xR恒成立，则①11()012f[；源:科网ZXXK]②7()10f＜()5f③()fx既不是奇函数也不是偶函数④()fx的单调递增区间是2,()63kkkZ⑤存在经过点（a，b）的直线与函数的图()fx像不相交以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）。3.M、N是曲线y＝πsinx与曲线y＝πcosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为()A．πB.2πC.3πD．2π4.已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈[,]22时，f(x)＝x＋sinx，则()A．f(1)f(2)f(3)B．f(2)f(3)f(1)C．f(3)f(2)f(1)D．f(3)f(1)f(2)5．已知0，函数()sin()4fxx在(,)2上单调递减，则的取值范围是（）()A15[,]24()B13[,]24()C1(0,]2()D(0,2]6．设函数()2sin(2)26fxx若[0,],()xfxa有两异根，求两根之和；