高数上册期中考试复习

高数（一一）复习题库第一章极限与连续1．函数()fx在a点左连续且右连续是()fx在a点连续的充分且必要条件；2．数列{}nx单调且有界是数列{}nx收敛的充分条件.3.如果数列{}nx满足：当k时，21kxa且2kxb，则nnxlim（当ab时极限存在D4．数列{}nx收敛是数列{}nx有界的充分条件.5．函数)2ln(1xxy的定义域D[1,2).6．极限nnnn2)1(lim1/e2.7．求极限xxx11lim20；解：原式220lim(11)xxxx3分11lim20xxx5分06分；8．求极限)111(lim0xxex.解：原式)1(1lim0xxxexxe1分201limxxexx3分xexx21lim05分216分.9．极限xxx20lim（D）.（A）等于1；（B）等于1；（C）不能确定是否存在；（D）不存在.10．极限xhxhxh2)(lim220；11．极限33)3)(12)(1(limnnnnn–2/3；12．求极限3111lim().11xxx（本小题5分）解：原式3211limxxxx4分，而01lim231xxxx，所以，原式5分.13．证明222111lim()1(0).2nnanananna（本小题6分）证明：设)1211(222nananannxn，则nnyannnannannannx)111(2221分，nnznnnnx1)111(2222分，即nnnzxy；而1limlimannynnn4分，11limlimnnnz5分，由夹逼准则，得1limnnx.6分14．求极限20tanlimsin.xxxxx.（本小题5分）解：原式30tanlimxxxx2分2203sec1limxxx4分220tanlim31xxx315分.15．求极限22321115lim.6xxxxx（本小题5分）解：原式)3)(2()3)(52(lim3xxxxx3分252lim3xxx4分515分；16．已知0,ab求极限lim.nnnnab（本小题6分）；解：原式nnnbab1)/(lim3分b.5分或用夹逼准则，nnnnbbab2，2分由bbbbnnn)2(lim,lim4分，得bbannnnlim.5分17、(本题8分)设函数2ln(1),0;(),0.xxfxxkxx若()fx在0x点连续，求k的值.解：kf)0(1分，kxkxffxx)(lim)(lim)0(003分，2)1ln(2lim)(lim)0(00xxxffxx5分，要使函数)(xf在0x点连续，必须)0()0()0(fff，7分得2k8分.（注：少)0(f扣2分）18、(本题8分)已知2sin,0,2;1cos(),0;1[lnln()],0.axxxkxfxbxxxxxx问,ab为何值时，函数()fx在0x点连续.解：22/sinlimcos1sinlim)(lim)0(000axaxxaxxffxxx3分，1)1ln(lim)ln(lnlim)(lim)0(0200xxxxxxxffxxx6分，bf)0(，要使函数)(xf在0x点连续，必须)0()0()0(fff，7分于是，ba12得1,2/2ba8分.19、设函数)(xf在闭区间]2,0[a上连续，且)2()0(aff，证明在闭区间],0[a上至少有一点使)()(aff.（本题8分）证明：设)()()(axfxfxF（],0[ax），函数)(xF在闭区间],0[a上连续，2分)0()()2()()(),()0()0(fafafafaFaffF，3分若)()0(aff，则0)()0(aFF，取0或a，则0)(F；4分若)()0(aff，则0)]()0([)()0(2affaFF，5分由零点定理，有),0(a，使得0)(F.7分综上，总有],0[a，使得0)(F，即在闭区间],0[a上至少有一点使)()(aff.8分第二章导数与微分1．函数()fx在点0x的某邻域有定义，则()fx在0x连续是()fx在0x可导的（B）条件.()A充分；()B必要；()C充分必要；()D既非充分，也非必要.2．设函数)0(lnxxxy，则dy（B）.（A）2)ln1(xdxx；（B）2)ln1(xdxx；（C）2ln)(lnxxdxxd；（D）2ln)(lnxxdxxxd.3．若函数)(),(xgxf可导，且0)()(22xgxf，设)()(22xgxfy，则y)()()()()()(22xgxfxgxgxfxf.4．设函数2tanlnxy，求y；解：)2(tan)2/tan(1xxy2分)2(2sec)2/tan(12xxx4分2sec)2/tan(212xx5分xcsc6分.5．设函数])([2yxfu，其中)(xyy由方程xeyy确定，如果函数)(),(xxf均为可导函数，求dxdu；解：方程xeyy两边同时对x求导1分，有1yeyy3分，得yey114分.dxdu]2)([])([2yyxyxf5分]12)([])([2yeyxyxf6分.6．若函数)(xyy由参数方程2ln(1),arctan.xtytt确定，求dydx.解：212)(tttx1分，2221111)(tttty2分，)()(txtydxdy4分2t.5分7．若1tan1xyarcx，求dydx.解：)11()(11211xxyxx2分2211)1()1(1)1(1)(11xxxxx4分211x5分；8．若函数)(xyy由参数方程22ln(1),.xtyt确定，求dydx.解：212)(tttx1分，tty2)(2分，)()(txtydxdy4分21t.5分第三章微分中值定理与导数的应用1．函数4()2fxxx在区间），或（2)2,(单调增加；2．函数()arctanfxxx在),(单调减少；3．使函数322)1()(xxxf适合罗尔定理的区间是（A）.（A）]1,0[；（B）]1,1[；（C）),0[；（D）]2,2[.4、设函数xxaxf6sin61cos)(，问a为何值时，)(xf在6/x取得极值？它是极大值？还是极小值？并求此极值.（本题8分）解：xxaxf6cossin)(2分，由)(xf在6/x取得极值，有0)6/(f3分，于是012a，的2a，此时xxxf6sin61cos2)(4分，xxxf6sin6cos2)(5分，03)6/(f6分，所以6/x是函数)(xf极小值点7分，极小值为3)6/(f8分.5、（本题8分）要造一体积为的V圆柱形油罐，问底半径和高的比是多少时，才能使该圆柱体的表面积最小.解：底半径为r，高为h，表面积为S，则hrV2，即2rVh1分，于是222222rrVrrhS（0r），3分由02442232rVrrrVdrdS4分，得惟一驻点32Vr5分，由实际意义，S有最小值，从而当32Vr时，S最小，6分此时圆柱形油罐的高为rVrVh22232，7分所以，底半径和高的比是21hr.8分