3.1.5空间向量运算的坐标表示

3.1.5空间向量运算的坐标表示•教学目的要求1．理解空间向量与有序数组之间的1-1对应关系2．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示主要内容与时间分配1．投影与投影定理方向余弦的坐标表示教学方法和手段启发式教学法，使用电子教案1．空间向量的基本定理：2．平面向量的坐标表示及运算律：(,,)pxiyjijxy(1)若分别是轴上同方向的两个单位向量(,)pxy则的坐标为1212(,),(,)aaabbb(2)若11221122(,),(,)abababababab则121122(,)(),aaaRababab11221122//,(),0abababRababab11222121(,),(,)(,)AxyBxyABxxyy(3)若则一．复习回顾若是空间的一个基底，是空间任意一向量，存在唯一的实数组使．pxaybzc{,,}abcp1．空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底{,,}ijk用表示(2)在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系,点叫原点，向量都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；O{,,}ijkO,,ijkxyzOxyzO,,ijkxOyyOzzOxxyzkjiO一．复习回顾（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系。本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.xyzxyzkjiO（3）作空间直角坐标系时，一般使135(45),90xOyyOz或Oxyz2．空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量,则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作．在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．a,,ijk123(,,)aaa123aaiajak123(,,)aaaaOxyz123(,,)aaaaAOxyz(,,)xyzOAxiyjzk(,,)xyzOAOxyz(,,)Axyzxzy123123(,,),(,,)aaaabbbb设则;ab;ab;a;ab//;ab;ab112233(,,)ababab112233(,,)ababab123(,,),()aaaR112233ababab112233,,()ababababR11223300abababab一、向量的直角坐标运算新课2222123||aaaaaa2222123||bbbbbb1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。二、距离与夹角||ABABABAB212121(,,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222212121||()()()ABdABxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、，则111(,,)Axyz222(,,)Bxyz（2）空间两点间的距离公式cos,||||ababab112233222222123123;abababaaabbb2.两个向量夹角公式注意：（1）当时，同向；（2）当时，反向；（3）当时，。cos,1ab与abcos,1ab与abcos,0abab思考：当及时，夹角在什么范围内？1cos,0ab,10cosab例1．已知(2,3,5),(3,1,4),,||,8,abababaaab求(2,3,5)(3,1,4)(5,4,9)ab(2,3,5)(3,1,4)(1,2,1)ab222||2(3)538a88(2,3,5)(16,24,40)a(2,3,5)(3,1,4)2(3)(3)15(4)29ab解:三、应用举例三、应用举例例2已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；(3,3,1)A(1,0,5)BAB解：设是的中点，则(,,)MxyzAB113()(3,3,1)1,0,52,,3,222OMOAOB∴点的坐标是.M32,,32222,(13)(03)(51)29.ABdOABM（2）到两点距离相等的点的坐标满足的条件。、AB(,,)Pxyz,,xyz解：点到的距离相等，则(,,)Pxyz、AB222222(3)(3)(1)(1)(0)(5),xyzxyz化简整理，得46870xyz即到两点距离相等的点的坐标满足的条件是、AB(,,)xyz46870xyzC’D’BCB’ADA’的坐标。，试写出图中各点所示的空间直角坐标系的中点，建立如图和分别是、的立方体是棱长为已知DC'BBFE2'D'C'B'AABCD例1·EFxyzxyzOAA’BB’O’变式：在直三棱柱ABO-A’B’O’中，∠AOB=90。|AO|=4,|BO|=2,|AA’|=4,D为A’B’的中点，如图建立直角坐标系，则._____B'A______;DO的坐标是的坐标是DF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1,0),1,,1,4BE11(0,0,0),0,1.4DF，1311,,1(1,1,0)0,,1,44BE例3如图,在正方体中，，求与所成的角的余弦值.1111ABCDABCD11BE11114ABDF1BE1DF1110,1(0,0,0)0,1.44DF，，1111150011,4416BEDF111717||,||.44BEDF111111151516cos,.17||||171744BEDFBEDFBEDF证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以DA、DC、1DD为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，例3如图，正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是1BB，11DB中点，求证：1EFDA则1(1,1,)2E，11(,,1)22F所以111(,,)222EF，又1(1,0,1)A，(0,0,0)D，所以1(1,0,1)DA所以1111(,,)(1,0,1)0222EFDA，因此1EFDA，即1EFDA证明：不妨设已知正方体的棱长为1个单位长度,设1,,DAiDCjDDk分别以为坐标向量建立空间直角坐标系则,,ijkDxyz11(0,0,0)(1,0,0)(1,0,0),(0,,1)2ADDF11(1,0,0)(0,,1)02ADDF1DFAD1(0,1,)2AE又11111(0,1,)(0,,1)02222AEDF1DFAEADAEA又1DFADE平面1(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1)DAD11(0,,0),(1,1,)22FE11111,,,ABCDABCDEFBBCD中分别是的中点1DFADE求证平面例4．在正方体练习1⑴已知ABCD,顶点(1,0,0),(0,1,0)AB,(0,0,2)C,则顶点D的坐标为______________;⑵RtABC△中,90BAC,(2,1,1),(1,1,2)AB,(,0,1)Cx,则____;x⑶已知(3,5,7)A,(2,4,3)B,则AB在坐标平面yOz上的射影的长度为_______.(1,-1,2)2101练习2:⑴已知A0,2,3)B2,1,6),(1,1,5)C（、（,则ABC△的面积S=_____.⑵(,2,1)ax,2(3,,5)bx且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围为.⑶正方体1111ABCDABCD─的棱长为2,EF、分别是111CCDA、的中点,求点A到直线EF的距离.7325(1,)21746练习3已知垂直于正方形所在的平面,分别是的中点,并且,求证:PAABCD,MN,ABPCPAADMNPDC平面证明:分别以为坐标向量建立空间直角坐标系则,,ijkAxyzADBPCMNxyz,,,,,1PAADABPAACADABDAiABjAPkPA且平面可设(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),ABCD(0,0,1)P1111(0,,0),(,,)2222MN11(,0,)22MN(1,0,1)PD(0,1,0)DC11(,0,)(1,0,1)022MNPDMNPD11(,0,)(0,1,0)022MNDCMNDCPDDCDMNPDC又平面练习4：如图，已知线段AB⊂α，AC⊥α，BD⊥AB，DE⊥α，∠DBE=30º，如果AB=6，AC=BD=8，求CD的长及异面直线CD与AB所成角的大小。练习：平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60º，E、H、F分别是D1C1、AB、CC1的中点。（1）求AC1的长；（2）求BE的长；（3）求HF的长；（4）求BE与HF所成角的大小。886EDCBA534FHED1C1B1A1DCBA1053arccos97372151371512125arccos证明:设正方体的棱长为1,1,,.DAiDCjDDk建立如图的空间直角坐标系11(1,0,0),(0,,1),2ADDF则11(1,0,0)(0,,1)0.2ADDF1.ADDF1(0,1,),2AE又111(0,1,)(0,,1)0.22AEDF1.AEDF又ADAE=A,1.DFADE平面xyzA1D1C1B1ACBDFE练习5⑴.在正方体1111ABCDABCD中,EF、分别是1BBCD、的中点,求证:1DFADE平面.证明：设11111CBaCDbCCc，，,则1112BCcaCOab，（）,练习5⑵.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥面ODC1.abc112ODODcbac（）,若存在实数,xy,使得11BCxODyOC成立，则11112222caxbacyabxyaxybxc（）（）（）（）∵abc，，不同面，∴121211011xyxxyyx（）（）即∴11BCODOC，∵11BCODOC，，为共面向量,且111BCODOCODC不在，所确定的平面内∴1111////.BCODCBCODC平面，即平面课后记•（1）通过对知识的回顾和相关问题的处理，进一步培养学生观察、分析和解决问题的能力。•（2）启发学生发现问题和提出问题，提高学生灵活运用所学知识分析问题和解决问题的能力、培养学生勇于质疑、勇于创新的能力。