2.4用向量讨论垂直和平行

2.4用向量讨论垂直与平行—.平行与垂直关系的向量表示1.平行关系设直线l，m的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，abuvml//线线平行//l线面平行//面面平行baba//0uauavuvu//点击点击点击2.垂直关系设直线l，m的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，abuvml线线垂直l线面垂直面面垂直0baba0vuvuuaua//点击点击点击练习：完成成才之路预习效果展示平面的法向量就是平面法线的方向向量，因此可以先确定平面的法线，再取它的方向向量．也可以直接判定向量与平面内的两条相交直线垂直，而得到平面的法向量．确定平面的法向量通常有两种方法：(1)几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直；(2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量．3.确定平面的法向量一般采用以下步骤来求法向量．(1)建立空间直角坐标系，设法向量n＝(x，y，z)．(2)找出平面内的两个不共线的向量的坐标a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)．(3)建立方程组n·a＝0n·b＝0.(4)解方程组，由于解不确定，只取其中一组解，也就求出此平面的一个法向量．3.三垂线定理如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．线面平行二.堂典例训练[证明]证法一：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M0，1，12，N12，1，1，D(0,0,0)、A1(1,0,1)、B(1,1,0)，如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1.[证明]∵直三棱柱ABC－A1B1C1的底面的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC，又CC1⊥平面ABC，∴AC、BC、C1C两两垂直．如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D(32，2,0)．(1)AC→＝(－3,0,0)，BC1→＝(0，－4,4)，∴AC→·BC1→＝0.∴AC⊥BC1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个面的中心．求证：平面EFG∥平面HMN.面面平行[分析]用向量证明面面平行有两个途径：利用面面平行的判定定理，即证明一个平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面；证明两个平面的法向量平行．[证明]证法一：如图，以点D为坐标原点，分别以DA→，DC→，DD1→为正交基底建立空间直角坐标系D－xyz，不妨设正方体的棱长为2，则E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,2,1)，M(1,1,2)，N(0,1,1)．[总结反思]证明面面平行的向量方法有两种：第一种是分别求出两平面的法向量，再证明两法向量平行；第二种是证明一个平面有两不共线向量平行于另一平面，转化为线面平行的问题．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为C1D1、B1C1、CC1的中点．求证：平面A1DB∥平面EFG.[证明]以D为原点，直线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC．[分析]可以从纯几何的角度和向量运算的角度进行证明．线面垂直[解析]证法一：如图，取A1B1的中点G，连接EG，FG，A1B，则FG∥A1D1，EG∥A1B．证法三：设正方体的棱长为2，建立如下图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．∴EF→＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)，AB1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，AC→＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．∴EF→·AB1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，EF→·AC→＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC．又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC．[总结反思]用向量法证明线面垂直的方法与步骤(1)基向量法①确定基向量作为空间的一个基底，用基向量表示有关直线的方向向量；②找出平面内两条相交直线的方向向量，并分别用基向量表示；③分别计算有关直线的方向向量与平面相交直线的方向向量的数量积，根据数量积为0，证得线线垂直，然后由线面垂直的判定定理得出结论．(2)坐标法方法一：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；④分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求出平面的法向量；④判断直线的方向向量与平面的法向量平行．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.[证明](1)在正方体ABCD中，∵AB＝2∴AC＝2，设AC与BD交于点G，因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝12AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG.因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD．如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C－xyz，则C(0,0,0)，A(2，2，0)，B(0，2，0)，D(2，0,0)，E(0,0,1)，F(22，22，1)．在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE：EC＝PF:FB＝1:2.求证：平面GEF⊥平面PBC．面面垂直[证明]证法1：如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝12AD．证明：平面AMD⊥平面CDE.[证明]∵FA⊥平面ABCD，∴FA⊥AD，FA⊥AB，又AD⊥AB，∴AF、AD、AB两两垂直．如图，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB＝1，依题意得A(0,0,0)，M(12，1，12)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，则AM→＝(12，1，12)，CE→＝(－1,0,1)，AD→＝(0,2,0)，如图，在棱长AB＝AD＝2，AA1＝3的长方体AC1中，点E是平面BCC1B1上的一个动点，点F是CD的中点．试确定点E的位置，使D1E⊥平面AB1F.探索性问题[分析]在平面AB1F中寻找两个向量，使其与D1E→的数量积为0即可．如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．若SD⊥平面PAC，问侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由．[解析]连结BD，设AC交BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．又ABCD为正方形，∴OA、OB、OS两两垂直，以O为坐标原点，OB→，OC→，OS→分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，DD1上是否分别存在点E，F，使得B1E⊥平面ABF，若存在，请证明你的结论，并求出E，F满足的条件；若不存在，说明理由．[误解]若在建系不恰当，则会导致运算烦琐，甚至出错，致使结论错误；若不知如何把线面的位置关系转化为向量之间的关系，则本例无法继续求解．[正解]建立如图空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B1(1,1,0)，B(1,1,1)，C(0,1,1)，设F(0,0，h)，E(m,1,1)(h，m∈[0,1])．则AB→＝(0,1,0)，B1E→＝(m－1,0,1)，FA→＝(1,0,1－h)．若B1E⊥平面ABF，则B1E→·AB→＝0②，B1E→·FA→＝0，[总结反思]1.准确确定点的坐标认真审题，分清题设条件，建立适当的空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标及合理设出待定点的坐标，本例中E，F要在正方体的棱上，其坐标必需满足条件h，m∈[0,1]．2．合理转化已知条件根据题设条件，将几何关系转化为向量关系，准确运用向量运算解答．例如本例中②处的转化．lmabml//baba//lua//l0uauauv//vuvu//lambml0babaluuaua//lauv0vuvu