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第一章集合1集合的运算一、集合的概念定义1设有两个集合A，B。若xA∈，必有xB∈，则称A是B的子集或B包含A，记为ABBA⊂⊃或。若AB⊂，且存在xB∈满足xA∉，则称A是B的真子集。若ABBA⊂⊂且，则称A与B相等或相同。定义2设Λ是一个非空集合，对于每个α∈Λ，指定一个集合Aα，于是得到许多集合，它们的总体称为集合族，记为{}|Aαα∈Λ或{}Aαα∈Λ。二、集合的运算定义3设A，B是两个集合。（1）称集合{}|ABxxAxB∪=∈∈或为A与B的并集，即由A与B的全部元素构成的集合；（2）称集合{}|ABxxAxB∩=∈∈且为A与B的交集，即由A与B的公共元素构成的集合；定理1（1）交换律ABBA∪=∪，ABBA∩=∩；（2）结合律()()ABCABC∩∩=∩∩,()()ABCABC∩∩=∩∩;（3）分配律()()()ABCABAC∩∪=∩∪∩()()()ABCABAC∪∩=∪∩∪。更一般地有（4）()()ABABαααα∈Λ∈Λ∪∩=∩∪；（5）()()ABABαααα∈Λ∈Λ∩∪=∪∩；（6）设{}nA和{}nB为两集列，有()111nnnnnnnABAB∞∞∞===⎛⎞⎛⎞∪∪=∪∪∪⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠。定义4设A，B是两个集合，称集合{}\|ABxxAxB=∈∉且是A和B的差集，即在集合中而不在集合B中的一切元素构成的集合。如果BA⊂，则称\AB为B相对于A的补集或余集。定理2（1）(),,,,ccccccAAXAAAAXX∪=∩=∅==∅∅=；（2）\AB=cAB∩；（3）若AB⊂，则ccAB⊃；（4）若AB∩=∅，则cAB⊂；（5）()()()()()\\\,\\\ABCACBCABCABC∩=∩=∪。定理3（DMorgan法则）（1）()\\XAXAαααα∈Λ∈Λ∪=∩；（2）()\\XAXAαααα∈Λ∈Λ∩=∪；特别的，若X为全集，有（3）()ccAAαααα∈Λ∈Λ∪=∩；（4）()ccAAαααα∈Λ∈Λ∩=∪。定义5设X与Y是两个集合，称集合(){},|,XYxyxXyY×=∈∈是X与Y的直积集，简称X与Y的直积，其中()()1122,,xyxy=是指12xx=且12yy=。三、集合列的极限集定义6设{}kA是一列集合，分别称集合{}lim|kkAx→∞=∈k存在无穷多个k，使xA{}lim|kkAx→∞=∉k只有有限个k，使xA是集合列{}kA的上极限集与下极限集。注解：①limkkxA→∞∈⇔存在{}kA的子集列{}ikA，使ikxA∈，1,2i=；②limkkxA→∞∈⇔存在0N，当kN时，kxA∈；③11limlimkkkkkkkkAAAA∞∞=→∞=→∞∩⊂⊂⊂∪定理4设集列{}kA，则（1）1limkkknknAA∞∞→∞===∩∪；（2）1limkknknkAA∞∞==→∞=∪∩。注解：①()\limlim\kkkkEAEA→∞→∞=②()\limlim\kkkkEAEA→∞→∞=定理5（1）若{}kA是单调递增集列，则1limkkkkAA∞→∞==∪（2）若{}kA是单调递减集列，则1limkkkkAA∞→∞==∩四、集类定义8设X为一个集合，ζ是X上的一个非空集类，如果对任何12,EEζ∈，都有1212,\EEEEζζ∪∈∈，则称ζ为X上的一个环。如果还有Xζ∈，则称ζ为X上的一个代数或域。如果对任何一列kEζ∈，均有121,\kkEEEζζ∞=∪∈∈，则称ζ为X上的σ环，如果还有Xζ∈，则称ζ为X上的一个σ代数或σ域。定理6若ζ为环，则（1）ζ∅∈（2）任意12,EEζ∈，有12EEζ∩∈（3）若()αζα∈Λ是X上的环（或代数），则ααζ∈Λ∩是X上的环（或代数）。定理7设ζ为σ环，则（1）ζ为环；（2）对任意,1,2,,nEnζ∈=有1nnEζ∞=∩∈；（3）对任意,1,2,,nEnζ∈=有lim,limnnnnEEζζ→∞→∞∈∈；（4）()αζα∈Λ为X上σ环（σ代数），则ααζ∈Λ∩是X上σ环（σ代数）。定理8设A是由X的某些子集构成的集类，则存在唯一的环（或代数，σ环，σ代数）ζ，使（1）Aζ⊂；（2）任何包含A的环（或代数，或σ环或σ代数）*ζ，必有*ζζ⊂。定义9定理8中的环（或代数，或σ环或σ代数）ζ称为由集类A所张成的环（或代数，或σ环或σ代数），并用()Aζ（或()Aℜ或()Aσζ或()Aσℜ）来表示。例题：设X为一非空集合，A为X的单点集全体所成的集类，则由①集类A所张成的环()Aζ={}|BB是X的有限子集若X为有限集，()Aζ也是代数、σ环、σ代数②若{}|nXanN=∈，则()Aζ={}|BB是X的有限子集()Aσζ=()Aσℜ=2A={}|BBX⊂2集合的势一、映射定义1有关映射的一些概念（舍）见教材P9。定理1设:TXY→为映射，则（1）()()1212;AAXATA⊂⊂⊂当时，有T（2）()()(),;TATAAXαααααα∈Λ∈Λ∪=∪⊂∈Λ（3）()()(),;TATAAXαααααα∈Λ∈Λ∩⊂∩⊂∈Λ（4）()()11212;BBYBTB−⊂⊂⊂-1当时，有T（5）()()()11,;TBTBBYαααααα−−∈Λ∈Λ∪=∪⊂∈Λ（6）()()()11,;TBTBBYαααααα−−∈Λ∈Λ∩=∩⊂∈Λ（7）()()()11ccTBTB−−=由此看出原像集的性质保持比像集的性质保持要好注解：①、（3）中如：一个映射f把X全部映射成一个值，就可以造成左边为空集即可；②、()()()()TAATAA⊃=-1-1一般T，当T为单射时,有T③、()()11()()TBBTBB−−⊂=一般T，当T为满射时,有T定义2复合映射概念（舍）见教材P10二、集合的势定义3设A和B为两集合，若存在从A到B的一一映射，则称集合A与Ｂ对等，记为A~B注解：①、对等关系是等价关系②、设{}{}|,|ABαααα∈Λ∈Λ，其中{}Aα两两互不相交，{}Bα两两互不相交。若对任意的α∈Λ，有Aα~Bα，则Aαα∈Λ∪~Bαα∈Λ∪定义4如果集合A与B对等，则称A与B有相同的势或基数，记为AB=（其中A表示A的势或基数）定义5设集合A与B，记,ABαβ==，如果A~1BB⊂，则称α不大于β，记为ABαβ=≤=，如果αβαβ≤≠且，则α小于β，记为ABαβ==注解：对于有限集来说，基数可以看作集合中元素个数，而对于无限集，其基数表示所有对等集合共同的属性。结论：（1）映射T是从A到B的单射，则AB≤（2）映射T是从A到B的满射，则AB≥（3）设{}{}|,|ABαααα∈Λ∈Λ，其中{}Bα两两互不相交，若对任意的α∈Λ，有Aα~Bα，则ABαααα∈Λ∈Λ∪≤∪引理若21,AAA⊂⊂且A~2A，则A~1A~2A定理2（Bernstein）设A、B为两个集合，若AB≤且AB≥，则AB=三、可数集定义6凡是与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集，它们的势（或基数）记作“阿列夫零”或a，称为可数势或可数基数。至多可数集的重要性质：性质1任一无限集A必含有可数子集，即a为无限集中最小的势；（定理3）性质2集合A是无限集的充要条件是A与其某一真子集对等；（定理4）性质3（至多可数集的性质）（定理5）（1）可数集A的任一子集B为至多可数集；（2）设12,,,nAAA为至多可数集，则1niiA=∪仍为至多可数集，如果12,,,nAAA中至少有一个可数集，则1niiA=∪为可数集；（3）设12,,,,nAAA为至多可数集，则1iiA∞=∪仍为至多可数集，如果12,,,,nAAA中至少有一个可数集，则1iiA∞=∪为可数集；（4）设12,,,nAAA为可数集，则12nAAA×××为可数集。（5）若集合{}12,,,|,1,,naaaiiiAxaAAin=∈=为可数集，，则A为可数集。常用结论：①有理数集Q是可数集，nR中有理点集nQ为可数集。②1R中互不相交的开区间族是至多可数集。定理6若Ａ为无限集，Ｂ是至多可数集，则AB∪～A由证明归纳出两种证明对等的方法：（１）建立一一映射；设{}12,,Bbb=为可数集，AB∩=∅，由性质１知，Ａ存在可数子集{}112,,Aaa=，作映射:fABA∪→()212,,1,2,,,1,2,,,,1,2,kkkkkkaxakxfxaxbkxxabk−==⎧⎫⎪⎪===⎨⎬⎪⎪≠=⎩⎭（2）要证A与B对等，可将A和B都分解为不交并，即1212,AAABBB=∪=∪再分别证明1A~1B，2A~2B()()()1111\,\\AAAAABAAABA=∪∪=∪∪⎡⎤⎣⎦四、不可数集定义7不是至多可数集的集合称为不可数集。定义8不可数集的基数称为连续基数，记作“阿列夫”或c定理7（常用的基数为c的集合）（1）[]{}0,1|01xRx=∈≤≤是不可数集；（2）R上任何区间的势均为c；（3）无理数集的势为c；（4）若kXc=，1,2,k=则1kkXc∞==∏；11,mkkkkXcXc∞==∪=∪=（5）若,,,XccXcαααα∈Λ=∈ΛΛ==∪且则定理8A⇔集合为A不可数集为无限集，且对A的任何可数子集B,有A~A\B定理9设A是任一无限集合，则2A≤A注解：①集合的基数中不存在最大基数②不存在集合A，使2A为可数集②22AA=定理10设集合A和B，若A~B,则2A~2B定理11可数集幂集的基数为连续基数，即2ac=。连续统假设：基数a与c之间是否存在其它的势？（至今悬而未决）3nR中的开集、闭集和Borel集一、nR中的距离、领域、区间定义1满足正定性、对称性、三角不等式的称为距离空间。定义2n维欧式空间定义3有界集定义定义4开球、闭球、球面的定义定义5nR中开区间、闭区间、半开半闭区间和体积的定义二、nR中开集定义6设nGR⊂，如果对任意xG∈，有0δ，使(),BxGδ⊂，则称G为nR中开集。定理1nR中开集构成的集族τ满足下述三条性质：（1）,;nRτ∅∈（2）;ττ∈∩∈1212若G,G，则GG（3）,,;Gααατατ∈Λ∈∈Λ∪∈若G则称τ为nR上的一个拓扑，(),nRτ为拓扑空间。注解：无穷多个开集的交集不一定为开集，例如{}111,0nnn∞=⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠∩为闭集定义7（1）设nxR∈，若G为nR中的开集且xG∈，则称G为x的一个领域（2）设nER⊂，如果存在x的一个领域G，使得GE⊂，则称x为E的内点。（3）设nER⊂，nxR∈，如果对x任意领域既含有E的点，又含有cE的点，则称x为E的边界点。常用结论：①、();cEE∂=∂②、0;EE⊂③、()00.ncREEE=∪∪∂定理2设nER⊂，则（1）0E为开集；（2）0EEE⇔=为开集三、nR中闭集定义8设()(),1,2,knxxRk∈=，若()()()lim,lim0kkkkdxxxx→∞→∞=−=则称点列(){}kx收敛于X，记为()limkkxx→∞=两条收敛判定准则：（1）()()lim.kkkxxxG→∞=⇔∈对x的任何领域G，存在N0，当kN时，（2）()()lim1,2,,,lim.kkiikkxxinxx→∞→∞=⇔==对每个有定义9设nER⊂，nxR∈，如果对X的任意领域G，必有{}(),GxE−∩≠∅则称X为E的聚点或极限点，聚点全体称为导集，记为'E；称'EEE=∪为E的闭包。相反，如果存在某个领域0G，使{}0GEx∩=，则称X为E的孤立点。常用结论：①、孤立点集为至多可数集；②、有限集为孤立点集，但可数集不一定为孤立点集，如Q。③、内点一定是聚点，但聚点不一定是内点；孤立点一定是边界点，但边界点不一定是孤立点。定理3设nER⊂，nxR∈，则以下为聚点等价性定义：()()(){}()()(){}()()20,,\;3,lim;4.kkkxEBxxEExxxxGEδδ→∞∩≠∅=1为的聚点；任意存在中互异点列对的任意领域，它必含有的无穷多个点定理4设E是nR中的有界无限点集，则E中至少有一个聚点。定理5设k1,2,nERk⊂=，,则()()''1111''11111,.2,.mmmmkkkkkkkkkkkkkkkkEEEEEEE