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2一元二次不等式2．1一元二次不等式的解法2．1.1一元二次不等式及其解法(一)学习目标1.正确理解一元二次不等式的概念．2．掌握一元二次不等式的解法．3．理解一元二次不等式，一元二次方程及二次函数之间的关系．课堂互动讲练知能优化训练2.1.1一元二次不等式及其解法(一)课前自主学案课前自主学案温故夯基1．二次函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像的对称轴方程是x＝－b2a，顶点坐标是(－b2a，4ac－b24a)．当a＞0时，图像的开口方向向上；当a＜0时，图像的开口方向向下．知新益能1．一元二次不等式的有关概念(1)一元二次不等式：形如_________________或__________________________的不等式叫做一元二次不等式．(2)一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式成立的_______叫这个一元二次不等式的解．(3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的________组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．ax2＋bx＋c0(≥0)ax2＋bx＋c0(≤0)(其中a≠0)x的值所有解2．一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集如下表：问题探究1．如何理解一元二次不等式的概念？提示：可以这样理解：①形如ax2＋bx＋c(≥，，≤)0(a≠0)的不等式，叫作一元二次不等式，其中a，b，c为常数，特别要注意a≠0.②“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他的字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，哪一个是“未知数”，哪一些是“参数”就可以．③“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制．2．为什么能用二次函数的图像解一元二次不等式？提示：我们知道以自变量的取值为横坐标，对应的函数值作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出所有的点，这些点就构成了函数的图像．因此函数图像上点的坐标的意义是横坐标是自变量的取值，纵坐标是对应的函数值．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像上的点的坐标的意义也是一样．由于位于x轴上方的点的纵坐标大于0，位于x轴上的点的纵坐标等于0，位于x轴下方的点的纵坐标小于0，所以二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像上位于x轴上方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)＝ax2＋bx＋c0的解集，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像上位于x轴下方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)＝ax2＋bx＋c0的解集．所以可以用二次函数的图像解一元二次不等式．当然，对于任意函数y＝f(x)，只要能画出它的图像，那么就可以解不等式f(x)0或f(x)0.课堂互动讲练考点突破解不含参数的一元二次不等式解一元二次不等式的一般步骤是：(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集．解下列不等式：(1)2x2－3x－20；(2)－x2－2x≥－3；(3)9x2－6x＋10；(4)x2－4x＋50；(5)x2－x＋10.例1【思路点拨】求解一元二次不等式可以依据“三个二次”之间的关系求解，也可以利用二次函数图像求解，还可以将不等式左边因式分解，转化为一元一次不等式组求解．【解】(1)法一：∵方程2x2－3x－2＝0的判别式Δ＝250，∴方程2x2－3x－2＝0的两根分别为x1＝－12，x2＝2，∴不等式2x2－3x－20的解集为{x|x－12或x2}．法二：作出函数y＝2x2－3x－2的图像，如图所示．由图可知y＝2x2－3x－2的图像在x轴上方(即函数值大于0)的点的横坐标的取值集合是{x|x－12，或x2}，故原不等式的解集是{x|x2，或x－12}．法三：原不等式可化为：(2x＋1)(x－2)0，即2x＋10x－20，或2x＋10x－20，解得x2，或x－12.故原不等式解集为{x|x2，或x－12}．(2)法一：原不等式可化为：x2＋2x－3≤0，由方程x2＋2x－3＝0可求出x1＝1，x2＝－3.∴原不等式的解集为{x|－3≤x≤1}．法二：作出函数y＝－x2－2x＋3的图像，如图所示．由图可知：y＝－x2－2x＋3的图像在x轴上方(函数值大于0)的点的横坐标的取值集合是{x|－3≤x≤1}．故不等式－x2－2x≥－3的解集是{x|－3≤x≤1}．(3)∵Δ＝0，∴方程9x2－6x＋1＝0的两根x1＝x2＝13，∴不等式的解集为{x|x≠13}．(4)∵Δ＝－40，∴方程x2－4x＋5＝0无实根．∴不等式的解集为R.(5)∵Δ＝－30，∴方程x2－x＋10无实根．∴不等式的解集为∅.【名师点评】本例中第(1)题给出了三种解法，其中法一要熟练掌握，法二画图像较直观，有助于对法一的理解，法三因式分解不太容易．我们常用法一来解一元二次不等式，即求出判别式看其符号——求根——根据不等式中不等号的方向写出解集．自我挑战1解下列不等式．(1)3x2－5x≤2；(2)－2x2＋x＋10；(3)2x2－x＋60；(4)－x2＋6x－9≥0；(5)x2－x－10；(6)x(6－x)0.解：(1)原不等式化为3x2－5x－2≤0，方程3x2－5x－2＝0的两根是x1＝－13，x2＝2.函数y＝3x2－5x－2的图像是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－13，0)和(2,0)(如图①)．观察图像可得，不等式的解集为{x|－13≤x≤2}．(2)原不等式化为2x2－x－10，方程2x2－x－1＝0的两根是x1＝－12，x2＝1.函数y＝2x2－x－1的图像是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－12，0)和(1,0)(如图②)观察图像可得，不等式的解集为{x|x－12或x1}．(3)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×60.∴函数y＝2x2－x＋6的图像开口向上，与x轴无交点(如图③)．∴观察图像可得，不等式的解集为∅.(4)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，∴原不等式的解集为{x|x＝3}．(5)方程x2－x－1＝0的两根是x1＝1＋52，x2＝1－52.函数y＝x2－x－1的图像是开口向上的抛物线，与x轴的交点是(1＋52，0)和(1－52，0)．(如图④)观察图像可得，不等式的解集是{x|x1－52或x1＋52}．(6)原不等式可化为x(x－6)0，原不等式的解集是下面不等式组解集的并集．①x0x－60或②x0x－60，不等式组①的解集为{x|0x6}，不等式组②的解集为∅，∴原不等式的解集为{x|0x6}．解双向一元二次不等式对于这类不等式，其解法为：首先化为一元二次不等式组，再分别求每一个一元二次不等式，最后求其交集．求下列不等式的解集：(1)－4＜x2－5x＋2＜26；(2)0＜x2－x－2＜4.例2【思路点拨】本题中的不等式为双向不等式，如第(1)小题实际上就是解不等式组x2－5x＋2＞－4，x2－5x＋2＜26，即求不等式x2－5x＋2＞－4与x2－5x＋2＜26的交集．【解】(1)原不等式可化为x2－5x＋2＞－4，x2－5x＋2＜26，即x2－5x＋6＞0，x2－5x－24＜0，解得x＞3或x＜2，－3＜x＜8，∴原不等式的解集为{x|－3＜x＜2或3＜x＜8}．(2)原不等式可化为x2－x－2＞0，x2－x－2＜4，即x2－x－2＞0，x2－x－6＜0，解得x＜－1或x＞2，－2＜x＜3，∴原不等式的解集为{x|－2＜x＜－1或2＜x＜3}．【名师点评】注意一元二次不等式的形式，即在利用不等式的解在“两根之间”或“两根之外”的结论时，首先要弄清前提条件是a＞0还是a＜0.解含参数的一元二次不等式含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．若二次项系数含有参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；其次，对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．解不等式ax2－(2a＋2)x＋40(a∈R)．【思路点拨】解答本题可先由a＝0，a0，a0分三类情况，将原不等式化为(x－x1)(x－x2)0或(x－x1)(x－x2)0的形式，再根据一元二次方程ax2－(2a＋2)x＋4＝0根的大小，由相应的二次函数的图像写出原不等式的解集．例3【解】原不等式可化为(x－2)·(ax－2)0.②当a＝0时，原不等式即为－2×(x－2)0，解得x2.②当a0时，原不等式可化为(x－2)(x－2a)0，∵方程(x－2)(x－2a)＝0的两根为2、2a，且2a2，观察二次函数y＝(x－2)(x－2a)的图像可得，原不等式的解集为{x|2ax2}．③当a0时，原不等式可化为(x－2)(x－2a)0.∵方程(x－2)(x－2a)＝0的两根为2、2a.结合二次函数y＝(x－2)(x－2a)的图像，当2a2，即a1时，x2a或x2.当2a2，即0a1时，x2或x2a.当2a＝2，即a＝1时，x≠2.综上所述，原不等式的解集为a0时，{x|2ax2}；a＝0时，{x|x2}；0a1时，{x|x2或x2a}；a＝1时，{x|x∈R且x≠2}；a1时，{x|x2a或x2}．【名师点评】二次项系数中含有参数时，参数的符号影响着不等号的方向．根中含有字母时，参数的符号影响根的大小．另外对参数分类讨论，其结果应对参数分类叙述，为了叙述结果简洁，可把与其解的结构一样的相应参数的取值范围合并在一起．自我挑战2解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a0(a∈R)．解：∵Δ＝[－(a＋1)]2－4a＝(a－1)2≥0.∴方程x2－(a＋1)x＋a＝0的两根为x1＝1，x2＝a.①当a1时，原不等式的解集为：{x|x1，或xa}．②当a1时，原不等式的解集为：{x|xa，或x1}．③当a＝1时，原不等式的解集为：{x|x∈R且x≠1}．1．解一元二次不等式时，应首先将所给的不等式标准化，再确定相应的二次方程的根，最后由函数图像写出解集，对于当Δ0，Δ＝0等特殊情况的解集要从本质上理解．2．不等式组的解集是各部分同时成立的范围，即各部分解集的交集．方法感悟3．解不等式时应注意的问题(1)解含参数的不等式时，必须注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论．(2)了解哪些情况需要分类讨论．①二次项系数为字母时，要分等于零、大于零、小于零三类讨论．②对应方程的根无法判断大小时，要分类讨论．③用不等式性质对不等式变形时，必须具备的变形条件．④若判别式含参数，则在确定解的情况时需分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况进行讨论．