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公式法计算公式法计算知识点拨知识点拨一、常用公式1.；2.；3.；4.；5.等比数列求和公式：()；6.平方差公式：；7.完全平方公式：，；用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的倍，两条公式也可以合写在一起：．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，倍乘积在中央”．二、常用技巧1.；2.；3.，，，，，；4.，其中．例题精讲例题精讲一、前项和【例1】【考点】公式法之求和公式【难度】2星【题型】计算【解析】【答案】【巩固】【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算【解析】原式【答案】【例2】计算：【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算【解析】原式【答案】【例3】计算：【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算【解析】原式【答案】【巩固】计算：___________．【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空【解析】与公式相比，缺少偶数项，所以可以先补上偶数项．原式【答案】【例4】计算：【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空【解析】原式【答案】【例5】计算：。【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空【关键词】2007年，西城实验【解析】原式其中也可以直接根据公式得出【答案】【例6】计算：【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算【解析】分拆()，()再用公式原式【答案】【例7】对自然数和，规定，例如，那么：⑴______________；⑵______________．【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空【解析】⑴原式⑵原式【答案】⑴⑵【巩固】看规律，，……，试求【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算【关键词】2007年，人大附中【解析】原式【答案】【例8】计算：【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算【解析】法一：利用等比数列求和公式。原式法二：错位相减法．设则，，整理可得．法三：本题与例3相比，式子中各项都是成等比数列，但是例3中的分子为3，与公比4差1，所以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的分子变得也都与公比差1．由于公比为3，要把分子变为2，可以先将每一项都乘以2进行算，最后再将所得的结果除以2即得到原式的值．由题设，，则运用“借来还去”的方法可得到，整理得到．【答案】【例9】计算的值。（已知，，，，，，，）【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】计算【解析】注意到式子的特点是从第一个加数开始，每一个加数比前一个加数的指数减少，的指数增加.所以每一个加数是前一个加数的倍，如果将题中加数按原来的顺序排列起来就是一个公比为的等比数列，于是按照错位减法进行运算即可。记,，那么，即原式的值为.【答案】【例10】．【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空【关键词】浙江省，小学数学活动课夏令营【解析】原式【答案】【解析】计算：．【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空【解析】原式【答案】【解析】【考点】公式法之求和公式【难度】3星【题型】填空【解析】原式【答案】【例11】计算：【考点】公式法之求和公式【难度】4星【题型】计算【解析】设算式的值为，那么， ， 即，故，则，所以，．【答案】二、平方差与完全平方公式【例12】⑴________；⑵________．【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】填空【关键词】浙江省，小学数学活动课夏令营【解析】⑴观察可知31415925和31415927都与31415926相差1，设，原式⑵原式【答案】⑴⑵【巩固】【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】填空【关键词】2009年，第7届，走美杯，3年级，初赛【解析】方法一：原式方法二：原式【答案】【巩固】【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】填空【关键词】2009年，第7届，走美杯，3年级，初赛【解析】原式【答案】【巩固】计算：＝。【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】3星【题型】填空【关键词】2007年，第5届，走美杯，6年级，决赛【解析】题目分析：答案为100000。记原式为X，则10X=314×314+628×686+686×686=3142+2×314×686+6862=(314+686)2=1000000，所以，X=100000。【答案】【例13】有一串数，，，，，……它们是按一定规律排列的，那么其中第个数与第个数相差多少？【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】填空【解析】这串数中第个数是，而第个数是，它们相差【答案】【巩固】代表任意数字，若，这个公式在数学上称为平方差公式．根据公式，你来巧算下列各题吧．⑴ ⑵ ⑶ ⑷【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】计算【解析】这个公式可以给我们的计算带来很多便利,在以后的奥数学习中会经常遇到,同学们最好记住哦.我们就依据公式来进行下面的计算:⑴⑵⑶⑷【答案】⑴⑵⑶⑷【例14】计算：．【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】3星【题型】填空【关键词】2008年，迎春杯，中年级组，决赛【解析】本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式．原式其中可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式进行计算．【答案】【例15】．【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式【难度】2星【题型】填空【关键词】2008年，迎春杯，初赛【解析】原式【答案】三、公式综合运用【例16】计算：．【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】2008年，仁华学校【解析】观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为1，3，5，……，99，乘数依次为4，7，10，……，151，根据等差数列的相关知识，被乘数可以表示为，乘数可以表示为，所以通项公式为．所以，原式另解：如果不进行通项归纳，由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等，可以先将这个差变为相等再进行计算．原式而和都是我们非常熟悉的．，，所以原式小结：从上面的计算过程中可以看出，，而，所以有【答案】【例17】计算：．【考点】公式法之综合运用【难度】4星【题型】填空【解析】，所以，，所以原式【答案】【例18】计算：【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算【关键词】北京二中，入学测试【解析】原式【答案】【巩固】计算【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算【解析】这个题目重新整理得：【答案】【巩固】计算：．【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算【解析】做这道题的时候，可能有些以前记住了20以内平方数的同学就高兴了，但是其实并不需要，大家看，利用平方差公式：，，，．于是，原式【答案】【例19】【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算【解析】原式【答案】【例20】计算：．【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空【解析】原式【答案】【巩固】计算：．【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空【解析】观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式．原式【答案】【巩固】【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空【关键词】2010年，学而思杯，4年级【解析】原式【答案】【例21】计算：【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算【解析】原式【答案】【巩固】计算：．【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】填空【解析】原式【答案】【例22】计算：【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算【解析】原式【答案】【例23】计算：【考点】公式法之综合运用【难度】3星【题型】计算【解析】原式【答案】