Frank-Kamenetskii理论模型

Frank-Kamenetskii理论模型及其应用Frank-Kamenetskii模型是着眼于实际情况而考虑的一个体系内具有温度分布的模型。该模型的特点是体系内的温度分布随空间位置及时间的变化而变化，它可表示为空间坐标和时间坐标的函数。但在实际应用中，为了解题方便，一般认为Frank-Kamenetskii模型的温度分布具有对称性。Frank-Kamenetskii模型中心边界温度Frank-Kamenetskii模型温度分布环境温度T0Frank-Kamenetskii模型下的温度分布关于Frank-Kamenetskii模型下任意空间和时间的温度分布的表示，通常有三种表示方法：其一为直角坐标，即),,,(tzyxfTxyzFrank-Kamenetskii模型下的温度分布关于Frank-Kamenetskii模型下任意空间和时间的温度分布的表示，通常有三种表示方法：其二为柱坐标，即),,,(tzrfTrzzFrank-Kamenetskii模型下的温度分布关于Frank-Kamenetskii模型下任意空间和时间的温度分布的表示，通常有三种表示方法：其三位球坐标，即),,,(trfTrFrank-Kamenetskii模型下的热平衡方程现考虑一个由化学物质组成的体系，其体积为V，表面积为S。在该体系内有一个任意微小空间，该微小空间的封闭曲面s所围成的体积微元为v。xyzV，SvsFrank-Kamenetskii模型下的热平衡方程由热力学第一定律可知，单位时间内体积微元获得的热能因等于单位时间内体积微元内能量的增加再加上单位时间内系统对外所作的功。如果不考虑体系的体积的变化，同时也不考虑其它形式的能量，只考虑体系与环境的热交换和体系内能的变化。体系获得的热能有两部分，一部分是通过体系的界面由外界传到体系（或从体系传到外界）的热量；另一部分是体系内部由于化学反应等产生的热能。热力学第一定律的数学表达形式为：Frank-Kamenetskii模型下的热平衡方程则体系内能量变化:单位时间内通过体积微元的界面获得或失去的能量；:单位时间内体积微元内部产生的热量；:单位时间内体积微元内能的增加。2q321qqq3q1qFrank-Kamenetskii模型下的热平衡方程单位时间内通过体积微元的界面获得的能量q1应等于通过体积微元界面的热流向量对封闭曲面积分式中是封闭曲面上任一点的热流向量在曲面s的法线方向的分量。sdsqq1qFrank-Kamenetskii模型下的热平衡方程不考虑化学反应以外产生的热量时，单位时间内体积微元内部产生的热量q2为式中是反应发热强度，即体系内的反应物质在单位时间单位体积内反应物的发热量。vdvqq'2,qFrank-Kamenetskii模型下的热平衡方程单位时间内体积微元内能的增加q3为式中为反应物的密度；Cv为反应物的定容比热。vvTdvCtq3Frank-Kamenetskii模型下的热平衡方程分别将通过体积微元界面的热流向量对封闭曲面积分值q1，体积微元内部产生的热量q2，单位时间内体积微元内能的增加q3代入能量平衡方程得体系内的某一体积微元的热平衡方程vvvsTdvCtdvqdsq'Frank-Kamenetskii模型下的热平衡方程如果封闭的体积微元内的热流向量及其偏导数，，是连续的，则实现体积变换的Gauss定理成立，即能量方程变为qxqx/yqy/zqz/vsdvqdivdsq)(vvvvTdvCtdvqdvqdiv')(Frank-Kamenetskii模型下的热平衡方程按照导数的定义考虑到体积微元不随时间的变化])()[(1lim0dvTdvCdvTdvCtTdvCttvvttvvtvvdvTCTCtTdvCttvttvvtvv])()[(1lim0)()()(TCttTCTCvtvttvFrank-Kamenetskii模型下的热平衡方程根据微分的中值定理可知)()()(TCttTCTCvtvttvdvTCTCtTdvCttvttvvtvv])()[(1lim0vvvvdvTCtTdvCt)(Frank-Kamenetskii模型下的热平衡方程为将上式整理再根据积分中值定理Frank-Kamenetskii模型下的热平衡方程vvvvdvTCtdvqdvqdiv)()('0)]()(['vvdvTCtqqdiv0)]()(['vTCtqqdivpvFrank-Kamenetskii模型下的热平衡方程上式表明，在体积微元内至少存在有一个点P,使得在P点的值满足当体积微元足够小趋于零时，体积微元将收缩到P点上，此时上式可写成0)]()(['vTCtqqdivpvpvpTCtqqdiv)]([])(['Frank-Kamenetskii模型下的热平衡方程由于体积微元是体系内的任意微小空间，故P点也是反应物体系内的任意一点。则)()('TCtqqdivvFrank-Kamenetskii模型下的热平衡方程又由于Frank-Kamenetskii模型所描述的体系内的温度场是连续的，故Fourier定律成立，则，单位面积、单位时间过任意l方向的热流为lTgradTqlFrank-Kamenetskii模型下的热平衡方程如果是直角坐标，三个方向上的热流可分别表示为xTqxyTqyzTqzFrank-Kamenetskii模型下的热平衡方程Frank-Kamenetskii模型下的热平衡方程的微分形式式中的2叫做Laplace算符，其表达形式随坐标系的不同而不同。tTCqTv'2Frank-Kamenetskii模型下的热平衡方程Frank-Kamenetskii模型下的热平衡方程的微分式成立的条件是：a.体系内没有温度的突变（温度场连续）和相态的变化;b.体系内物质是均匀的；c.在各个方向上是等同的；d.式中的物理量、和Cv不随温度和时间的变化而变化。Frank-Kamenetskii模型下的热平衡方程的求解由于Frank-Kamenetskii模型下求解热自燃温度具有一定困难。一般是视实际体系的空间构造将其简化，用无限圆盘、无限柱坐标或球坐标来求解实际问题。在这些特定的场合，三维空间的问题可以化成一维空间的问题来解决。Frank-Kamenetskii模型下的热平衡方程的求解当Frank-Kamenetskii模型下的热平衡方程的时。方程表示系统处于稳定状态，上式也叫Poisson方程。当﹥0时，表明体系将不断升温，最终将发生热爆炸。0tT0'2qTtTFrank-Kamenetskii模型下的热平衡方程的求解对于无限大平板、无限长圆柱和球这些特定的场合，此时的Laplace算符2有如下的形式式中的j称为几何因子，当体系为无限大平板时，j=0。当体系为无限长圆柱时，j=1。当体系为球时，j=2。rrjr22热平衡方程的求解（解析解）无量纲化对热平衡方程无量纲化，使用如下无量纲量：无量纲温度；无量纲活化能（或无量纲环境温度）无量纲时间（是绝热自燃的延滞时间）其中是绝热自燃的延滞时间)//()(2ERTTTaaERTa/adtt/aRTEnavadAeHEcRTCt/02热平衡方程的求解（解析解）无量纲化无量纲坐标（为反应物特征尺寸）其中a0为反应物特征尺寸Frank-Kamenetskii参数0/ar2020)/exp(aanRTRTEAHEca20020)/exp(RTRTEAHEa液体固体热平衡方程的求解（解析解）无量纲化无量纲化处理后的热平衡方程为其中则稳定态（临界状态）的无量纲形式：)(/2f))1/(exp()(f0)(2f热平衡方程的求解（解析解）近似与边界条件非均温放热反应系统的热平衡方程由于含有非线性的Arrhenius项，不能直接积分求得解析解。该项的产生是由于反应速率常数对于温度的指数关系造成的。为了获得A类几何形状系统的分析解，常常对热平衡方程中的Arrhenius项进行近似。另外唯一要确定是系统内的温度场，除了热平衡方程外还需要一系列的单值性条件，其中最为重要的是系统的边界条件。热平衡方程的求解（解析解）近似与边界条件一、热平衡方程的近似满足Arrhenius定律的反应速率常数与温度的关系为：)/exp(RTEAkekERTTTkkaaaa))//()exp((2)1(aaaaaTTTRTETTRTERTEef)(热平衡方程的求解（解析解）近似与边界条件非均温系统的边界条件边界条件在数学上分为三类：a)第一类边界条件，Dirichlet条件，给出边界上各点的温度值；b)第二类边界条件，Naumann条件，给出边界法向的温度梯度；c)第三类边界条件，Robin边界条件，给出边界上温度和温度梯度的线性组合。对所研究的系统，边界上的热传递遵循Newton冷却公式，对边界上的热传递有如下两种数学处理方法。热平衡方程的求解（解析解）近似与边界条件非均温系统的边界条件边界条件在数学上分为三类：a)第一类边界条件，Dirichlet条件，给出边界上各点的温度值；b)第二类边界条件，Naumann条件，给出边界法向的温度梯度；c)第三类边界条件，Robin边界条件，给出边界上温度和温度梯度的线性组合。主要讨论1．边界温度、热流连续2．边界热流连续、温度不连续热平衡方程的求解（解析解）近似与边界条件1．边界温度、热流连续与第三类Robin边界条件相同。对平板上式改写为：)(/0TTUSnTB)(/0BTTSdrdTU热平衡方程的求解（解析解）近似与边界条件定义Biot数Bi为：变换形式其物理意义是对流换热边界上物体内部导热热阻与边界处对流换热热阻1/U的比值。当其较小时，温度降落主要表现在表面流体一侧，当其较大时，温差主要表现在物体内部。当内部导热热阻接近0时，表示系统内部具有很高的导热系数，则此时系统可以看作内部均温系统处理。000/)(/BiaTTSdrdTUaB)/1/()/(Bi0Ua/0a热平衡方程的求解（解析解）近似与边界条件2．边界热流连续、温度不连续在交界面具有连续的热流通过在交界面存在一个温度跃变。)(0'TTUSqb)(0TTbSqTUt/1,表面热阻热平衡方程的求解（解析解）近似与边界条件Frank-Kamenetskii模型的边界条件Frank-Kamenetskii边界条件是表示系统边界上反应物表面的温度与环境温度相等。对无量纲方程有：00,TTar1,0热平衡方程的求解-近似与边界条件Frank-Kamenetskii模型的边界条件热平衡方程的另一边界条件，由反应物几何形状规则性得到，对于对称加热反应物，反应物中心温度最高，温度梯度为0。无量纲化后为：0,0/rdrdT0,0/dd热平衡方程的求解-近似与边界条件Frank-Kamenetskii模型的边界条件热平衡方程的另一边界条件，由反应物几何形状规则性得到，对于对称加热反应物，反应物中心温度最高，温度梯度为0。无量纲化后为：0,0/rdrdT0,0/dd热平衡方程的求解-近似与边界条件上面所讨论的边界条件是Frank-Kamenetskii热自燃模型对应的边界条件，反应系统可