拉格朗日余项与误差计算

ByKahn,FortuneEdu拉格朗日余项与误差计算给定项数n,求得近似值()nSx,通过|()|nRx估计误差,这一题型几乎是每年AP最后一道大题的固定模式.请同学们认真学习.对误差的估计,分为两种情况:一是拉格朗日余项定理,二是交错级数的余项定理.我们分别进行论述,并适当地回顾前面的内容,以便更加细致地梳理这一知识点.拉格朗日余项（LagrangeFormoftheRemainder）的运算首先涉及泰勒公式,其内容如下:给定一个函数f(x),若可以将其展开成幂级数P(x)的形式如下:20120()()()()()()nnnnnfxPxccxacxacxacxa则必有()()!nnfacn.那么,泰勒级数的全形可以如下:()2()()()()()()()()2!!nnfafafxfafaxaxaxan()0()()!nnnfaxan其中,前n项我们称之为函数在点x=a处的n阶泰勒展开式.所谓的阶,是指x的幂次;n阶就是x的最高次幂为n,而不是展开到第n项.通常而言,如果泰勒展开的每一项都存在,则n阶泰勒展开应当有n+1项（应当加入常数项）.而对于某些奇数项为0或偶数项为0的级数,其项数的计算,就更加复杂一些,但n阶依然是指x的最高次幂,而与项数无关.但是,泰勒展开能够无限地逼近原函数,是以n趋向于无穷为前提条件的.如果我们只是将函数展开到n阶,则后面的部分（我们称为余项,remainder）就被省略了,这必然会产生误差.记余项的表达式为Rn(x),用它表示n项之后的余项（注意下标是n而不是n+1）,我们可以将泰勒展开写成如下形式:()2()()()()()()()()()2!!nnnfafafxfafaxaxaxaRxn或者说,()()()nfxPxRx这式子的意思是原函数可以分解为两个部分,一部分是n阶泰勒展开,另一部分就是拉格朗日余项.那么,做一个移项,就可以有:()()()nRxfxPx.这就是说,用n阶幂级数来逼近原函数,其误差就是这一余项.而拉格朗日余项就是表达这些被省略部分的一个公式（实际上还有其他类型的余项表达式,但AP不考）,我们ByKahn,FortuneEdu可以用它来估计误差.为此,我们先写出函数的第n+1阶展开式:23()(1)()10()()()()()()()()2!3!()()()()()()!(1)!!nnnnnnnfafafxfafaxaxaxafafafaxaxaxannn而拉格朗日余项（在具体题目中,我们也称为拉格朗日误差界LagrangeErrorBound）在形式上就类似于函数的第n+1阶,其表达式如下:(1)1()()()(1)!nnnfcRxxan,wherecisavaluebetweenxanda.其中,唯一的不同点就是原来(1)()nfa中的a变成了c,并且c是介于x与a之间的一个值.“c是介于x与a之间的一个值”,之所以这么写,而不采用不等式的定法,是因为实际上x可以小于a（xca）,也可以大于a（acx）;对这句话的深入理解,请大家结合后面的具体例题中来讲.同时,拉格朗日余项定理像微分中值定理（MeanValueTheorem）、介值定理（IntermediateValueTheorem）一样,都是存在性定理,即只能告知值的存在（我们知道有这样一个值）,但不能告知其具体位置（但不知道它到底是多少）.而如果我们使用麦克劳林式（MaclaurinSeries,即a=0时的特殊形式）,就可以将拉格朗日余项变成较简单的形式:(1)1()()(1)!nnnfcRxxn,wherecisavaluebetweenxand0.这是AP最容易出题的余项形式,我们所有的例题都将据此展开.观察拉格朗日余项定理的形式,对于给定a、n和x的情况下,如果要确定这个余项的界限,唯一要确定的就是前面的这个第n+1阶导数的取值范围.若令有正数(1)()nMfc,则只需要确定M的范围,那么,整个余项的范围也就唯一给定了.由于误差值可能为正,也可能为负,为便利讨论,我们一般都取其绝对值进行考查,即:(1)1()()()(1)!nnnfcRxxan,或1()()(1)!nnMRxxan.而对于麦克劳林式,我们就变成考查:(1)1()()(1)!nnnfcRxxn,或1()(1)!nnMRxxn的范围.这时我们就要介绍一个基本定理,即拉格朗日余项定理:ByKahn,FortuneEdu若存在正数M,使得对acx或xca,均有(1)()nfcM,则(1)11()()()()(1)!(1)!nnnnMfcRxxaxann也就是说M的取值范围其实就由(1)()nfc(acxorxca)唯一给定.这一不等式也叫泰勒不等式.这是我们进行余项范围估计的主要理论基础.要注意的是,尽管在陈述拉格朗日余项时我们说c的范围是xca或acx,并没有包括端点值.但是,泰勒不等式中,端点值是包括在内的.因此,在计算误差时,我们通常把c的取值范围写成xac或xca.在具体计算中,确定M的范围实际上并不像许多同学想象的那么复杂,关键是结合给定函数的类型进行讨论,我们在前面讨论函数的幂级数展开时,已经结合一些具体的公式进行过抽象的分析,现再考虑一些具体的求近似值的案例来加强其理解.例1将sinyx展开成5阶麦克劳林式,并估计其误差.Solution根据基本的公式21357111sin(1)3!5!7!(21)!nnxxxxxxn……,很容易得出的5阶麦克劳林式为:3511sin3!5!xxxx其余项按照拉格朗日余项定理,可以写成:(51)(6)516()()()(51)!6!nfcfcRxxx,wherecisavaluebetween0andx.要确定范围,我们只需知道(6)()fc的范围.那么,(6)()fc到底在哪个区间呢？为此,我们需要写出(6)()fc的函数表达式.根据泰勒展开的定义,易有:sincos,sinsin,sincos,xxxxxx.那么,根据三角函数的基本性质,不论c取何值,(6)()fc,即(6)sinsinxx,都必定在[1,1]的区间中.于是,对这个题而言,我们不需要讨论c的取值为何(但仍需要写上wherecisavaluebetween0andx这句话),整个余项的取值范围也可以非常明白了:(6)66()()6!6!nfcxRxx例2将sinyx展开成5阶麦克劳林式,据此估计sin0.2的值,并计算其误差.ByKahn,FortuneEduSolution接上例,得3511sin0.20.2(0.2)(0.2)0.19866933333!5!同时,(6)6685()0.2()(0.2)(0.2)8.888888889106!6!nfcRxR.按照此误差,真实的sin0.2应当在80.19866933338.88888888910之间,即在0.1986692444和0.1986694219之间.实际上,如果我们使用TI-84进行计算,可以发现sin0.20.1986693308.可见,使用这一方法的精度还是较高的.注意:在计算误差值的运算过程中,一定要注意“＝”号和“≈”号的表达.在上述表达中,如果是n阶的近似,一定要用号;如果数值除不尽,也一定要用号.否则,将会被扣掉一定分数.例3将cosyx展开成4阶麦克劳林式,据此估计cos0.3的值,并计算其误差.Solution240.30.3cos(0.3)10.955337524!(5)55554()0.3()2.025105!5!5!fcxRxx例4使用xe的8阶麦克劳林展开式估计2e的值,并计算其误差.Solution234567822222222127.3873015872!3!4!5!6!7!8!eForthiscase,2,0,02xac.Besides,(9)()xfxe,itisincreasingforallxR.Hence,2()cMaxeefor02c.（注意:在做此题及类似题型的过程中,必须对c的取值范围做出说明,并且根据相应阶的导函数的增减性做出最大值的判断.此题中需要写出函数的9阶导数然后再说明.）Thus,(9)2998()2(2)29!9!fceR这里就遇到一个问题,2e的范围是多大呢？实际上,这正是我们想要估计的范围！为此,我们只能做一个大致的估算.因为我们知道2.7183e…,所以:ByKahn,FortuneEdu(9)292998()232(2)20.01269841279!9!9!fceR这就是说,即使是使用8阶泰勒展开,并且使用3e这样大范围的估计,也可以得出2e的估计值的误差范围不会超过0.013这样较高精度的估计.交错级数（AlternatingSeries）的误差计算相对简单.其基本定理如下:若交错级数100(1)()nnnnnuv满足下列条件:1.正项递减,即10nnvv;2.正项趋零,即lim0nnv则必有其余项的范围11nnnnRSSuv.其中,S表示全部和,Sn表示部分和（partialsum）,也就是我们高中数学里习惯说的前n项和.简单的讲,交错级数前n项和的余项,不会超过接下来这一项的绝对值,这就是交错级数的余项公式.其证明从略,有兴趣的同学可以参看相关的微积分教材,但我不建议大家在这点上浪费时间.这个公式在说明条件后,可以直接套用.许多AP的考题,在要求泰勒展开之后,肯定会是一个交错级数的类型.如果这样,只需简单地将上述两个条件列出,然后套用此公式即可.注意上述这两个条件实际上就是交错级数收敛的条件.细心的同学可能会发现,当我们对sinyx或cosyx在x=0处进行泰勒展开时,它们都是交错级数.这就意味着其近似应当有两种方法:拉格朗日余项定理或交错级数的余项定理.它们的结果似乎是不太一样的.这需要一定的说明.在例2中,我们将sinyx展开成5阶麦克劳林式,并使用拉格朗日余项估计sin0.2的误差为:(6)6685()0.2()(0.2)(0.2)8.8888888891016!6!nfcRxR……（）.但是,由于我们知道21357111sin(1)3!5!7!(21)!nnxxxxxxn……,这毫无疑问是一个交错级数,并且是收敛的,即同时满足正项递减、趋零这两个条件,那么,依据交错级数的余项公式（英文即可写作ByAlternatingSeriesTest）,其误差应当不会超ByKahn,FortuneEdu过其下一项的绝对值（717!x）,即:792.51()396(80.2)710(2)!nRx……比较（1）式与（2）式,似乎得出了完全不同的结果.到底哪个是对的呢？仔细观察会发现,（1）式与（2）式的形式其实非常类似,其区别仅在于两者的幂次和阶乘数稍有不同,一个是6,一个是7,从而导致结果的不同.实际上,造成这一结果的原因在于sinyx的泰勒展开是一种特殊的类型,它的全部项次并非通常意义上的:21357111sin(1)3!5!7!(21)!nnxxxxxxn……如果按照严格的泰勒展开,sin00sincos,sin(0)1xxsinsin,sin(0)0xxsincos,sin(0)1xx(4)(4)sinsin,sin(0)0xx……则sinyx的泰勒展开的完整形式实际上应当写成:34567010101sin02!3!4!5!6!7!xxxxxxx