第二章标量衍射理论¾光波的传播过程就是光波衍射过程矢量波衍射理论(1)整个光波场内光矢量振动方向不变,或只考虑光矢量的一个分量;(2)衍射屏的最小尺度远大于波长.(3)观测距离远大于波长.(3)折射率与光强无关.假设与近似标量波衍射理论波动光学信息光学(基础)本章讲述标量波衍射理论。需要指出的是,在现代衍射光学、微光学、二元光学及光子晶体分析中,常利用矢量波衍射理论2.1基尔霍夫衍射理论2.1.1惠更斯---菲涅耳原理和基尔霍夫衍射公式惠更斯原理(1678年)¾基于惠更斯子波的假设与杨氏干涉原理¾描述光传播过程的基本原理¾原理:光场中任一给定的隔开波源与场点的曲面上的各面元可以看做是子波源,如果这些子波是相干的,则在波传播的空间上的任一点处的光振动,都可以看做是这些子波源各自发出的子波在该点相干叠加的结果dsPθQ∑P0rnr惠更斯---菲涅耳原理(1818年)其复振幅的数学表达式为SrekPUCQUjkrd)()()(0∫∫∑=θdsPθQ∑P0rnr)(0PU波面上任一点的复振幅∑—隔开波源与场点的曲面)(θK—倾斜因子rejkr—子波源发出的球面波C—比例系数缺憾/(1)子波源相位须人为超前(2)K(Θ)难确定012222=∂∂−∇tucu{}tiePUtPuπν2)(Re),(−=亥姆霍兹方程光传播的波动方程(光振动标量波动方程)0)()(22=+∇PUk自由空间传播的单色光复振幅必须满足的波动方程1882年,基尔霍夫利用格林定理推导出严格的衍射公式∫∑=dsreKPUCQUikr)()()(0θ2),cos(),cos()(,1rnrnKjCvvvv−==θλdsrernrnreajQUikrikr]2),cos(),cos([1)(0000∫Σ−=vvvvλQPP0r0rΣn2.1.2光波传播的线性性质(叠加积分与卷积积分)SrekPUjQUjkrd)()(1)(0∫∫+∞∞−=θλrekjQPhjkr)(1),(θλ=SQPhPUd),()(0∫∫+∞∞−=∫∫+∞∞−=)(QdUdSQPhPUQdU),()()(0=设上式表示屏上P点处的小面元对观察点Q的贡献。1)(0=dSPU单位振幅(脉冲)则),()(QPhQdU=P点处的单位脉冲在Q点产生的复振幅分布),(QPh单位脉冲响应或点扩散函数令线性性—叠加积分观察点Q的复振幅是Σ上所有面元的光振动在Q点引起的复振幅的相干叠加结论:(1)衍射过程或传播过程也可以看做为一种线性系统的线性变换。(2)h(P,Q)代表了这个系统的全部特性。SQPhPUQUd),()()(0∫∫+∞∞−=入射到衍射屏的光满足傍轴条件(菲涅尔近似)下,有1)(≈θK1),cos(−0≈rnrr观察面上衍射光满足傍轴条件下,又有1≈),cos(rnrr此时zejQPhjkrλ1),(≈线性不变性—卷积积分zejQPhjkrλ1),(≈0x0y0xy0QzzPr[]2020200)()(exp1),;,(yyxxzjkjzyxyxh−+−+≈λ),(00yyxxh−−=脉冲响应具有空不变形式2.2衍射的角谱理论1、角谱的传播孔径平面和观察平面上的光场都可以看成许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合。每一平面波分量的振幅和相位取决于相应的角谱)cos,cos(0λβλαA和)cos,cos(λβλαA[]ηξηξπηξdd)(2exp),(),,(yxjAzyxU+=∫∫∞∞−)cos)d(cosd()coscos(2exp)cos,cos()0,,(000000λβλαλβλαπλβλα⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∫∫∞∞−yxjAyxU)cos)d(cosd()coscos(2exp)cos,cos(),,(λβλαλβλαπλβλα⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∫∫∞∞−yxjAzyxU对于单色光场,满足亥姆霍兹方程0),(),(22=+∇yxUkyxU0)coscos1()cos,cos()cos,cos(22222=−−+βαλβλαλβλαkAAdzd对每一平面波分量,也应满足上式方程(注意A仅是z的函数)0)coscos(2exp)cos,cos()(22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∇yxjAkλβλαπλβλα)cos)d(cosd()coscos(2exp)cos,cos(),,(λβλαλβλαπλβλα⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∫∫∞∞−yxjAzyxU)coscos1exp()cos,cos()cos,cos(22βαλβλαλβλα−−=jkzCAz=0)cos,cos()cos,cos(0λβλαλβλαCA=)coscos1exp()cos,cos()cos,cos(220βαλβλαλβλα−−=jkzAA¾角谱传播的规律¾已知z=0平面上的角谱,可求出观察平面上的角谱,然后通过傅里叶逆变换可求出观察平面上的复振幅分布¾具有和基尔霍夫衍射公式等同的价值)coscos1exp()cos,cos()cos,cos(220βαλβλαλβλα−−=jkzAA讨论:(1)当方向余弦满足下面关系式时1coscos22+βα¾各平面波传播一定距离z仅引入一定的相移,振幅不变¾不同方向上传播的平面波分量到达观察面时的距离各不相同,产生的相移与传播方向有关1coscos22+βα(2))exp()cos,cos()cos,cos(0μλβλαλβλαzAA−=01coscos22−+=βαμk)exp(μz−¾波动分量随z增加而按指数衰减¾在几个波长距离内几乎衰减为零倏逝波1coscos22=+βα0cos=(3)γo90=γ¾波动分量的传播方向垂直于z轴,沿z方向实际上没有能量传播)coscos1exp()cos,cos()cos,cos(220βαλβλαλβλα−−=jkzAA),(),(),(0(4)系统的传递函数ηξηξηξHAA=)coscos1exp(),(),(),(220βαηξηξηξ−−==jkzAAH22)()(1exp(ληλξ−−=jkz=),(ηξH22)()(1exp(ληλξ−−jkz02221ληξ+其它ξη),(ηξH1λ1⎪⎩⎪⎨⎧+−−=其他01])()(1exp[),(22222ληξληλξηξikzH光波传播——空间滤波器有限空间带宽(1/λ)传递函数模1传递函数模0(>1/λ)ξη基尔霍夫衍射理论与角谱理论比较(1)统一性:光的传播现象可看作线性不变系统(2)相异性:基尔霍夫理论—空域中光的传播¾孔径平面光场—点源的集合¾观察面上光场分布—带有不同权重因子的球面子波的相干迭加¾球面子波在观察平面上的复振幅分布—系统的脉冲响应角谱理论—频率域中光的传播¾孔径平面场分布—不同方向传播的平面波分量的的线性组合¾观察面上场分布—先前平面波分量(引入相移)的相干迭加¾相移—大小决定于系统的传递函数(系统脉冲响应的FT变换)球面波理论与平面波理论010203[]ηξηξπηξdd)(2exp),(),(yxjAyxU+=∫∫∞∞−),(),(),(0ηξηξηξHAA=0000000dyd),(),(),(xyyxxhyxUyxU∫∫+∞∞−−−=),(ηξηξηξddA),(ηξηξddA),(ηξηξddA),(—权重—权重—权重2孔径对角谱的影响¾孔径平面的光场分布U(x0,y0)-紧靠孔径平面后方的透射光场的分布¾光波在自由空间传播时光场及其角谱发生的变化照明孔径的入射光场与透射光场之间的关系?角谱之间的关系?∑),(00yxUi),(000yxU=),(00yxt),(),(00000yxUyxUi复振幅透过率)cos,cos(λβλαiA)cos,cos(0λβλαA)cos,cos(λβλαT),(00yxt),(),(),(0000000yxUyxtyxUi=由傅里叶变换卷积定理=)cos,cos(0λβλαA)cos,cos()cos,cos(λβλαλβλαTAi∗)cos,cos(λβλαT孔径透过率的傅里叶变换),(00yxt∑),(00yxUi),(000yxU)cos,cos(λβλαiA)cos,cos(0λβλαA)cos,cos(λβλαT),(00yxt单位振幅平面波垂直照明孔径,入射场1),(00=yxUi其角谱为)cos,cos()cos,cos(λβλαδλβλα=iA∴照明光波的角谱只有一个,代表沿衍射屏法向传播的平面波通过此孔径后,衍射光场的角谱=)cos,cos(0λβλαA)cos,cos()cos,cos(λβλαλβλαT∗δ)cos,cos(λβλαT=)()(),(0000byrectaxrectyxt=例:矩形孔径∵δ函数只有当0cos=α0cos=β时才不为零=)cos,cos(0λβλαA)cos,cos(λβλαT)cos(sin)cos(sinλβλαbcacab=¾从空域看,孔径的作用是限制入射波面的大小范围¾从频域看,却是展宽入射光场的角谱¾孔径越小,透射光场的角谱就愈宽,或者说包含的高频成分就愈多λαcos)cos(sinλαaca1a1−∑角谱分量大大增加2.3菲涅耳衍射和夫琅和费衍射0x0y0xy0QzzPr实际衍射现象—菲涅尔衍射,夫琅和费衍射近似程度不同,衍射图样不同0000000dyd),(),(),(xyyxxhyxUyxU∫∫+∞∞−−−=zejyyxxhjkrλ1),(00≈−−由前面知道22020)()(zyyxxr+−+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−+≈220220)(21)(211zyyzxxz0x0y0xy0QzzPr1、菲涅耳衍射公式[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−=−−202000)()(2exp)exp(1),(yyxxzkjjkzjzyyxxhλ菲涅耳近似的实质—二次曲面来代替球面的惠更斯子波代入基尔霍夫衍射公式[]002020000)()(2exp),()exp(1),(dydxyyxxzkjyxUjkzjzyxU∫∫+∞∞−⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−×=λ—菲涅耳衍射公式(物理光学))coscos1exp()cos,cos()cos,cos(220βαλβλαλβλα−−=jkzAA)coscos1exp()cos,cos(22βαλβλα−−=jkzH衍射的角谱理论(频域对传递函数作出近似)当1coscos22+βα相位因子中的根式作二项式展开)cos(cos122βα+−L−+−+−=22222)cos(cos81)cos(cos211βαβα若第三项对应的相位变化远小于1rad,则高次项都可以忽略,z应满足下式1)cos(cos8max222+βαkz0x0y0xy0QzzPrrαkzjyyixxrrrrr+−+−=)()(00)(cos0xxrir−==⋅αrrzxxrxx)()(cos00−≈−=αzyyryy)()(cos00−≈−=β1)()(8max22020⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−zxxzxxkz[]max220203)()(4yyxxz−+−λπ—菲涅耳衍射区在菲涅耳衍射区内)cos(cos122βα+−)cos(cos21122βα+−≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=)cos(cos2exp)exp()cos,cos(22βαλβλαzkjjkzH∵λξα=cosληβ=cos∴传递函数[])(exp)exp(),(22ηξπληξ+−=zjjkzH[])(exp)exp(),(22ηξπληξ+−=zjjkzH两种近似,空域,频域,结果一致各角谱分量将产生与频率有关的相移均匀的相位延迟—基尔霍夫衍射公式经过近似得到的脉冲响应[][]{}ηξηξπηξπλddyyxxjzjjkzyyxxh∫∫∞+∞−−+−+−=−−)()(2exp)(exp)(exp),(002200[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−=2020)()(2exp)exp(1yyxxzkjjkzjzλ[]002020000)()(2exp),()exp(1),(dydxyyxxzkjyxUjkzjzyxU∫∫+∞∞−⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−×=λ孔径平面上的光场复振幅分布与球面子波的卷积展开指数中的二次项×