状态重构与状态观测器设计

10.3状态重构与状态观测器设计概述状态反馈相对于输出反馈的优越性是显而易见的。系统的任意极点配置、镇定、解耦控制、无静差跟踪等，都有赖于引入适当的状态反馈才能够实现。状态可控的线性定常系统可通过线性状态反馈来进行任意极点配置，以使闭环系统具有所期望的极点及性能品质指标。但是，由于1)描述内部运动特性的状态变量有时并不是能直接测量的，2)而且有时并没有实际物理量与之直接相对应而为一种抽象的数学变量。这些情况下，用状态变量作为反馈变量来构成状态反馈系统带来了具体工程实现上的困难。为此，提出了状态变量的重构或观测估计问题?Reconstruction,observation,estimation所谓的状态变量的重构或观测估计问题，即设法另外构造一个物理上可实现的动态系统,它以原系统的输入和输出作为它的输入而它的状态变量的值能渐近逼近原系统的状态变量的值或者其某种线性组合则这种渐近逼近的状态变量的值即为原系统的状态变量的估计值并可用于状态反馈闭环系统中代替原状态变量作为反馈量来构成状态反馈律这种重构或估计系统状态变量的装置称为状态观测器（stateobserver），它可以是由电子、电气等装置构成的物理系统,也可以是由计算机和计算模型及软件来实现的软系统。换句话说，为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳知的信息（输入量及输出量），通过一个模型(或系统、或软件)来对状态变量进行估计。状态观测器是指在不考虑噪声干扰下，状态值的观测或估计问题，即所有测量值都准确无差且原系统内外部无噪声干扰。对于存在噪声干扰时的状态观测或估计问题，则可用卡尔曼(Kalman)滤波理论来分析讨论(最优估计)。本节主要讨论状态观测器理论。重点掌握:状态观测器的结构、误差分析、设计方法带状态观测器的状态反馈闭环系统的分析10.3.1全维状态观测器及其设计Full-dimensionalstateobserver下面分别介绍开环状态观测器渐近状态观测器1.开环状态观测器Open-loopstateobserver设线性定常连续系统的状态空间模型为(A,B,C),即ABCxxuyx其中系统矩阵A、输入矩阵B和输出矩阵C都已知。这里的问题是：若状态变量x(t)不能完全直接测量到,如何构造一个系统随时估计该状态变量x(t)？对此问题一个直观想法是：利用仿真技术来构造一个和被控系统有同样动力学性质（即有同样的系数矩阵A,B和C）的如下系统，用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值（即重构被控系统的状态变量）:ˆˆˆˆABCxxuyx其中为被控系统状态变量x(t)的估计值。ˆx该状态估计系统称为开环状态观测器，简记为B∫ACu+BACˆxˆxˆxˆy开环状态观测器∫yx+++x'图3-1开环状态观测器的结构图其结构如下图所示。ˆ(,,)ABC比较系统(A,B,C)和的状态变量，有ˆ(,,)ABCˆˆ()()()()ttAttxxxxˆˆ()()(0)(0)Atttexxxx则状态估计误差的解为ˆxx显然,当时,则有,ˆ()()ttxxˆ(0)(0)xx即估计值与真实值完全相等。但是，一般情况下是很难做到这一点的。这是因为:2.若矩阵A的某特征值位于s平面的虚轴或右半开平面上(实部Res0),则矩阵指数函数eAt中包含不随时间t趋于无穷而趋于零的元素。1.有些被控系统难以得到初始状态变量x(0),即不能保证;ˆ(0)(0)xx此时若或出现对被控系统状态x(t)或状态观测器状态的扰动,则将导致状态估计误差将不趋于零而为趋于无穷或产生等幅振荡。ˆ(0)(0)xxˆ()txˆ()()ttxx所以,由于上述状态观测器不能保证其估计误差收敛到零,易受噪声和干扰影响,其应用范围受到较大的限制。仔细分析可以发现，这个观测器只利用了被控系统输入信息u(t)，而未利用输出信息y(t)，其相当于处于开环状态，未利用输出y(t)的观测误差或对状态观测值进行校正。即,由观测器得到的只是x(t)的一种开环估计值。为了和下面讨论的状态观测器区分开来,通常把该观测器称为开环状态观测器。ˆ()tx2.渐近状态观测器Asymptoticstateobserver前面讨论的开环状态观测器没有利用被控系统的可直接测量得到的输出变量来对状态估计值进行修正，估计效果不佳可以预见，如果利用输出变量对状态估计值进行修正，即进行反馈校正，则状态估计效果将有本质性的改善。下面将讨论该类状态观测器系统的特性及设计方法。其估计误差将会因为矩阵A具有在s平面右半闭平面的特征值，导致不趋于零而趋于无穷或产生等幅振荡。)(ˆ)(ttxx如果对任意矩阵A的情况都能设计出相应的状态观测器,对于任意的被控系统的初始状态都能满足下列条件:ˆlim[()()]0txtxt即状态估计值可以渐近逼近被估计系统的状态,则称该状态估计器为渐近状态观测器。根据上述利用输出变量对状态估计值进行修正的思想，和状态估计误差须渐近趋于零的状态观测器的条件，可得如下的状态观测器:ˆ()ˆˆ(31)ˆˆABCGyxyxxuy其中G称为状态观测器的反馈矩阵。于是重构状态方程为该状态估计器称为全维状态观测器,简称为状态观测器,其结构如下图所示。ˆˆ()AGCBGxxuyB∫ACGyB∫ACˆxˆy闭环状态观测器xu+++++-x'ˆxˆx+图3-2渐近状态观测器的结构图定理3-1（观测器的存在条件）线性定常系统(A,B,C)具有形如(3-1)的状态观测器的充分必要条件是系统的不可观部分（或不可观模态）是渐近稳定的。证明：充分性。因为(A,B,C)不可观时，按可观性进行结构分解，故这里不妨假定(A,B,C)已具有如下形式：1111212220[0]ABABCCAAB定理10-2（P255）其中(A11,C1)可观测，A22的特征值具负实部。现构造如下的动态系统ˆˆˆ()ABGCxxuyx()AGCxx根据前面的分析：11112121220AGCAGCAxx有1111212220[0]AGAGCCAAG因为TT111()AC,TTT1111ACG1111AGC00ˆlim0,,,txxxu于是定理的充分性得证。定理的必要性证明略去。证毕。1GT可控，适当选择，可使的特征值，亦即的特征值均具负实部；而A22是系统的不可观部分，由可检测的假定，A22的特征值具有负实部，故系统渐近稳定，即先定义如下状态估计误差:ˆˆˆ()()()(ˆˆ())()AGAGAGCCxxxxxyyxxxxx其中A–GC称为状态观测器的系统矩阵。ˆxxx则有根据上述误差方程，被控系统(A,B,C)的渐近状态观测器，也可简记为。(,,)AGCBC下面分析状态估计误差是否能趋于零。显然，上述状态估计误差方程的解为当状态观测器的系统矩阵A-GC的所有特征值位于s平面的左半开平面,即具有负实部,因此，状态观测器的设计问题归结为求反馈矩阵G，使A-GC的所有特征值具有负实部及所期望的衰减速度即状态观测器的极点是否可任意配置问题。对此有如下定理。则无论等于x(0)否,状态估计误差将随时间t趋于无穷而衰减至零,观测器为渐近稳定的。ˆ(0)x()txˆ()(0)(0)(0)AGCACttGxtexexx定理渐近状态观测器的极点可以任意配置,即通过矩阵G任意配置A-GC的特征值的充要条件为矩阵对(A,C)可观。证明证明过程的思路为：A-GC的极点可由G任意配置两者极点相等AT-CTGT的极点可由GT任意配置经状态反馈GT系统(AT,CT)的极点可由GT任意配置对偶性原理(A,C)状态可观需证明的结论?系统(AT,CT)状态可控极点配置的充要条件定理10-3（P255）证明过程为：由于A-GC的特征值与AT-CTGT的特征值完全相同，则A-GC的特征值可由G任意配置等价于AT-CTGT的特征值可由GT任意配置，即等价于系统(AT,CT)可通过状态反馈阵GT进行任意极点配置。而(AT,CT)的极点可任意配置的充分必要条件为矩阵对(AT,CT)可控，由对偶性原理知，即矩阵对(A,C)可观。因此,A-GC的特征值可任意配置的充要条件为矩阵对(A,C)可观。可见，只要被控系统状态可观，则一定存在可任意极点配置的渐近状态观测器。与状态反馈的极点配置问题类似，对状态观测器的极点配置问题，对期望的极点的选择应注意下列问题:1.对于n阶系统，可以而且必须给出n个期望的极点。2.期望极点必须是实数或成对出现的共轭复数。3.为使基于状态观测器的状态反馈闭环控制系统有更好的暂态过渡过程，状态观测部分应比原被控系统和闭环系统的控制部分有更快的时间常数(衰减更快),即状态观测部分的极点比其它部分的极点应当更远离虚轴。由上述分析过程，类似于状态反馈的极点配置技术，有如下状态观测器的设计方法。方法一方法一的思想:利用对偶性原理，将状态观测器设计转化为状态反馈极点配置，然后利用状态反馈极点配置技术求状态观测器的反馈阵G。其具体方法是，将可观矩阵(A,C)转换成对偶的可控矩阵对(AT,CT)，再利用极点配置求状态反馈阵GT，使得AT-CTGT的极点配置在指定的期望位置上。相应地，G即为被控系统(A,B,C)的状态观测器(A-GC,B,C)的反馈矩阵。计算过程可图解如下:可观性矩阵对(A,C)可控性矩阵对(AT,CT)由状态反馈极点配置技术计算GT配置AT-CTGT的极点由反馈矩阵G配置状态观测器的A-GC的极点由对偶原理计算由对偶原理计算方法二方法二的思想:先通过非奇异线性变换,将状态完全可观的被控系统Σ(A,C)变换成可观标准型,即有Txx(,)AC112100010001000010001nnnaaATATaaCCT其中ai*和ai(i=1,2,…,n)分别为期望的状态观测器的极点所决定的特征多项式的系数和原被控系统的特征多项式的系数。对可观标准型进行极点配置，求得相应的可观标准型的观测器的反馈阵如下G(,)AC**11*11nnnnaaaaGaa因此,原系统Σ(A,B,C)的相应状态观测器的反馈阵G为GTG例3-1设线性定常系统的状态空间模型为（P265习题10-5-5）100231110201[001]xxuyx解：方法一：1.先利用对偶性方法，求得原系统的如下对偶系统:]112[,100,010210031)~,~,~(CBA试设计一状态观测器，使其极点配置为-3,-4,-5。2.将上述可控状态空间模型化为可控标准型的变换矩阵为其中1112110011306106pPpApA211[001][]1/600pBABAB3.求对偶系统的状态反馈阵。由于被控系统的特征多项式和期望极点的特征多项式分别为f(s)=|sI-A|=s3-3s+2f*(s)=(s+3)(s+4)(s+5)=s3+12s2+47s+60则对偶系统的状态反馈阵K为1***123322112[]1001[585012]1306106202512ccKKTaaaaaaT即所求状态观测器的反馈阵G=KT=[202512]T则相应状态观测器为100220ˆˆˆ311125()020112ˆˆ[001]xxuyyyx(2)方法二。1