高阶方程的降阶法和幂级数解法

第四章高阶线性微分方程Higher-OrderLinearODE12019/11/26常微分方程-重庆科技学院-李可人§4.3高阶方程的降阶法和幂级数解法Step-downOrderMethodandSeriesMethod§4.2内容回顾)()()(tfxtadtxdtadtxdnnnnn11110111xtadtxdtadtxdnnnnn)()(2)()()()(txctxctxctxnn2211)(~)()()()(txtxctxctxctxnn2211方程类型2019/11/263常微分方程-重庆科技学院-李可人0][xL0)(11nnnaaF基本解组或通解)(][tfxL常数变易法特解相加比较系数法拉普拉斯变换法求解方法2019/11/264常微分方程-重庆科技学院-李可人本节内容/Contents/1.几类可降阶高阶方程2.幂级数解法（求特解）2019/11/265常微分方程-重庆科技学院-李可人1)方程不显含未知函数及0),,,,()(nxxxtFx)(,,,1kxxx01),,,,()()()(nkkxxxtFnk1则方程可降为阶的方程，即可降阶knk4.3.1可降阶的方程的类型n阶方程的一般形式§4.3STEP-DOWNORDERMETHODANDSERIESMETHOD2019/11/266常微分方程-重庆科技学院-李可人yxk)(0),,,,()(knyyytF).(584),,,,(21kncccty方法令则).(584的通解若可求得),,,,(21)(knkccctyx逐次积分次，可得原方程的通解。k§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod2019/11/267常微分方程-重庆科技学院-李可人0),,(xxtF,yx0),,(yytF),(1ctx),,(21cctx特别，对于二阶方程),(1cty积分，可得原方程的通解yx§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod2019/11/268常微分方程-重庆科技学院-李可人解令014455dtxdtdtxdydtxd4401ytytcecydtt111tcx1)4(221)3(2ctcx3231)2(6ctctcx例1求方程的通解。432241224ctctctcx54233251ctctctctcx§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod2019/11/269常微分方程-重庆科技学院-李可人2)不显含自变量的方程t0),,,()(nxxxF).(594yxydtdxdtdx)(可降低一阶方法令dtdxdxdydxdyydtdxdxdyydxddxdyydtdx)()(2222222dxydydxdyydxydydxdyy)())((§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod2019/11/2610常微分方程-重庆科技学院-李可人假定dtdxfdxddxyddxdyyfdtdxnnn),,,()(22将)(,,,nxxx).(594),,,(()(2nxxyyyfdxdy代入原方程),,,()(221nnndxyddxdyyfx),,,()(11nxxyyyf§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod2019/11/2611常微分方程-重庆科技学院-李可人011),,,,(nndxyddxdyyxG降低一阶),,,,(121ncccxyxdtdxy分离变量，可得原方程的解。),,,,(121ncccx§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod2019/11/2612常微分方程-重庆科技学院-李可人例2求解方程02)(xxxyxdxdyyx02ydxdyyx0y或ydxdyx解令xdxydy1lnlncxyxcy1§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod2019/11/2613常微分方程-重庆科技学院-李可人xcx1dtcxdx121221ctcx21222ctcx0y0xcx21222ctcx§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod2019/11/2614常微分方程-重庆科技学院-李可人则(4.2)的基本解组可以求得。可降低k阶，即可得到n-k阶的齐次线性方程。3)齐次线性方程0111xtadtxdtadtxdnnnnn)()().(24已知(4.2)的k个线性无关的特解，则(4.2)结论特别地，如果已知(4.2)的n-1个线性无关的解，§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod2019/11/2615常微分方程-重庆科技学院-李可人kxxx,,,21kixi,,,,210yxxkyxyxxkkyxyxyxxkkk2yxyxxnknkn)1()1()1(na1na2na1a令方法设是(4.2)的k个线性无关的解yxyxnnyxnyxxnknknknkn)()()()()()(2121§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod2019/11/2616常微分方程-重庆科技学院-李可人0221111yxtaxtaxtaxyxtaxnyxknnknknknkknk])()()([))(()()()()()(令zy01111ztbztbznnn)()()()().(674n-1阶线性方程)(kxxyzzdtxxk可将化为阶线性方程).(241n或§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod2019/11/2617常微分方程-重庆科技学院-李可人同理，对于就知道了个非零解1k)(kiixxz121ki,,,01111ztbztbznnn)()()()().(674).(674且其线性无关，0112211kkzzz0112211)()()(kkkkkxxxxxx01112211])([kkkxxxxkkkkxxxx112211kixi,,,,21线性无关，021k§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod2019/11/2618常微分方程-重庆科技学院-李可人类似地,令1kzzu或udtzzk102312utcutcunnn)()()()()(1kiizzu221ki,,,线性无关的解，继续下去，得到一个n-k阶的线性齐次方程若k=n-1，则可得到１阶线性齐次方程，则可求得通解。§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod2019/11/2619常微分方程-重庆科技学院-李可人)(1xxy令ydtxx1yxydtxx11yxyxyxydtxx1111yxyxydtx1112特别，对于二阶齐次线性方程022xtqdtdxtpdtxd)()(若知其一非零解01xx，则可求得通解。§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod2019/11/2620常微分方程-重庆科技学院-李可人02111111ydtxtqyxtpydtxtpyxyxydtx)()()(02111yxtpxyx])([yxxtpxy1112)(])([)(dttpdxxdtxxtpxececy1111112121dttpdttpxexceec)()(ln211121§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod2019/11/2621常微分方程-重庆科技学院-李可人dttpexcy)(211基解组为dtexxdttp)(2111,1x通解][)()(dtexccxtxdttp212111ydtxx1§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod2019/11/2622常微分方程-重庆科技学院-李可人例4已知ttxsin是方程02xxtx的解，试求方程的通解。解ttp2)()sin(sindtettccttxdtt122221)sin(sindttcctt2211)cossin()(sintctctctgtcctt21211§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod2019/11/2623常微分方程-重庆科技学院-李可人4.3.2二阶线性方程的幂级数解法（求特解）解nnxaxaxaay2210为方程的解0)0(y00a例5xydxdy00)(y的解。求方程的满足初始条件设nnxaxaxaxay33221nnnnxanxnaxaxaay112321132)(xxaxaxann)(221nnxaxaxa2211)(§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod2019/11/2624常微分方程-重庆科技学院-李可人,01a,122a212annnnxanxnaxaxaa112321132)(nnxaxaxa2211)(nnaan11)(11naann)!()()(113111111211nannannanannn!nan1,,32n§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod2019/11/2625常微分方程-重庆科技学院-李可人!nan1,,32n)!!!(nxxxyn3232xnxxxn12112)!!!(xex1)()(cxdxeecxdxeeyxxdxdxxxxxcexcexee1)(1xeyx1,01cc§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod2019/11/2626常微分方程-重庆科技学院-李可人042yyxy00)(y10)(y设级数解为nnxaxaxaay2210由于所以1010aa,nnnnnxaxaxaxxaxy33222211nnnxnay221nnnxanny)(例8的解。求方程的满足初始条件解00)(y10)(y§4.3Step-downOrderMethodandSeriesMethod2019/11/2627常微分方程-重庆科技学院-李可人2212204121nnnnnnnnnxaxxnaxxann)()()(22204261nnnn