浙江大学数学建模——初等模型(杨起帆)

初等模型浙江大学数学建模实践基地某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。§2.1舰艇的会合12,11222aabrbaah令：则上式可简记成：222rh-yx)(A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母护卫舰θ1θ2])([)(22222b-yxabyx即：22222222)1(411ababaayx可化为：记v2/v1=a通常a1222|AP|a|BP|则汇合点p必位于此圆上。bxy)(tan1（护卫舰的路线方程）bxy)(tan2（航母的路线方程）即可求出P点的坐标和θ2的值。本模型虽简单，但分析极清晰且易于实际应用§2.2双层玻璃的功效在寒冷的北方，许多住房的玻璃窗都是双层玻璃的，现在我们来建立一个简单的数学模型，研究一下双层玻璃到底有多大的功效。比较两座其他条件完全相同的房屋，它们的差异仅仅在窗户不同。不妨可以提出以下假设：1、设室内热量的流失是热传导引起的，不存在户内外的空气对流。2、室内温度T1与户外温度T2均为常数。3、玻璃是均匀的，热传导系数为常数。设玻璃的热传导系数为k1，空气的热传导系数为k2，单位时间通过单位面积由温度高的一侧流向温度低的一侧的热量为θddl室外T2室内T1TaTb由热传导公式θ=kΔT/d12121aabbTTTTTTkkkdld)/()(21212121dklkTTdklkTa解得：dklkdTTkddklkTTdklkTk212112121211122)1(此函数的图形为dd室外T2室内T1dTTk2211)/()(2221dklk类似有32~1621kk一般dl/811故记h=l/d并令f(h)=181h01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91hf(h)考虑到美观和使用上的方便，h不必取得过大，例如，可取h=3，即l=3d，此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗时的3%。§2.3崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑表功能的计算器。方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如，设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5米。221gth我学过微积分，我可以做得更好，呵呵。vKmgdtdvmF除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当属空气阻力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得：kgcevkt令k=K/m，解得代入初始条件v(0)=0，得c=－g/k，故有ktekgkgv再积分一次，得：cekgtkghkt2若设k=0.05并仍设t=4秒，则可求得h≈73.6米。听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了反应时间进一步深入考虑不妨设平均反应时间为0.1秒，假如仍设t=4秒，扣除反应时间后应为3.9秒，代入式①，求得h≈69.9米。2221()ktktggggghtetekkkkkk①多测几次，取平均值再一步深入考虑代入初始条件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：将e-kt用泰勒公式展开并令k→0+，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落的真正时间为t1，声音传回来的时间记为t2，还得解一个方程组：933401212211.ttthkg)ekt(kghkt这一方程组是非线性的，求解不太容易，为了估算崖高竟要去解一个非线性主程组似乎不合情理相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可用方法二先求一次h，令t2=h/340，校正t，求石块下落时间t1≈t-t2将t1代入式①再算一次，得出崖高的近似值。例如，若h=69.9米，则t2≈0.21秒，故t1≈3.69秒，求得h≈62.3米。最小二乘法插值方法当问题的机理非常不清楚难以直接利用其他知识来建模时，一个较为自然的方法是利用数据进行曲线拟合，找出变量之间的近似依赖关系即函数关系。§2.4经验模型最小二乘法设经实际测量已得到n组数据（xi,yi），i=1,…,n。将数据画在平面直角坐标系中，见图。如果建模者判断这n个点很象是分布在某条直线附近，令该直线方程为y=ax+b，进而利用数据来求参数a和b。由于该直线只是数据近似满足的关系式，故yi-(axi+b)=0一般不成立，但我们希望niiibaxy12)]([最小此式对a和b的偏导数均为0，解相应方程组，求得：xaybxxyyxxaniiniii121)())((y=ax+byO(xi,yi)x其中和分别为xi和yi的平均值xy如果建模者判断变量间的关系并非线性关系而是其他类型的函数，则可作变量替换使之转化为线性关系或用类似方法拟合。显然，运动员体重越大，他能举起的重量也越大，但举重成绩和运动员体重到底是怎样关系的，不同量级运动员的成绩又如何比较优劣呢？运动成绩是包括生理条件、心理因素等等众多相关因素共同作用的结果，要建立精确的模型至少现在还无法办到。但我们拥有大量的比赛成绩纪录，根据这些数据不妨可以建立一些经验模型。为简单起见，我们不妨取表中的数据为例。例1（举重成绩的比较）举重是一种一般人都能看懂的运动，它共分九个重量级，有两种主要的比赛方法：抓举和挺举。表中给出了到1977年底为止九个重量级的世界纪录。255200110以上237.518511022118090207.517082.5195157.575180141.567.5161.513060151120.55614110952挺举（公斤）抓举（公斤）成绩重量级（上限体重）模型1（线性模型）将数据画在直角坐标系中可以发现，运动成绩与体量近似满足线性关系，只有110公斤级有点例外，两项成绩都显得较低。应用前面叙述的方法可求出近似关系式L=kB+C，其中B为体重，L为举重成绩。你在作图时L轴可以放在50公斤或52公斤处，因为没有更轻级别的比赛，具体计算留给读者自己去完成。模型2（幂函数模型）线性模型并未得到广泛的接受，要改进结果，能够想到的自然首先是幂函数模型，即令L=kBa，对此式取对数，得到lnL=lnk+alnB。将原始数据也取对数，问题即转化了线性模型，可用最小二乘法求出参数。几十年前英国和爱尔兰采用的比较举重成绩优劣的Austin公式：L′=L/B3/4就是用这一方法求得的。模型3（经典模型）经典模型是根据生理学中的已知结果和比例关系推导出来的公式，应当说，它并不属于经验公式。为建立数学模型，先提出如下一些假设：(1)举重成绩正比于选手肌肉的平均横截面积A，即L=k1A(2)A正比于身高l的平方，即A=k2l2(3)体重正比于身高l的三次方，即B=k3l3根据上述假设，可得3232321)(KBkBkkL显然，K越大则成绩越好，故可用来比较选手比赛成绩的优劣。32LBL32321kkkK模型4（O’Carroll公式）经验公式的主要依据是比例关系，其假设条件非常粗糙，可信度不大，因而大多数人认为它不能令人信服。1967年，O’Carroll基于动物学和统计分析得出了一个现在被广泛使用的公式。O’Carroll模型的假设条件是：(1)L=k1Aa,a1(2)A=k2lb,b2(3)B-Bo=k3l3假设(1)、(2)是解剖学中的统计规律，在假设（3）中O’Carroll将体重划分成两部分：B=B0+B1，B0为非肌肉重量。故有：3135)(BkL根据三条假设可得L=k(B-B0)β,k和β为两个常数，323abβ此外，根据统计结果，他得出B0≈35公斤，31βk越大成绩越好。因而建议根据的大小来比较选手成绩的优劣。3135)(BLL模型5（Vorobyev公式）这是一个前苏联使用的公式。建模者认为举重选手举起的不光是重物，也提高了自己的重心，故其举起的总重量为L+B，可以看出，他们更重视的是腿部肌肉的爆发力。应用与模型4类似的方法，得出了按的大小比较成绩优劣的建议。60)/900]BBBLL([0.45上述公式具有各不相同的基准，无法相互比较。为了使公式具有可比性，需要对公式稍作处理。例如，我们可以要求各公式均满足在B=75公斤时有L’=L，则上述各公式化为：（1）Austin公式：（2）经典公式：（3）O’Carroll公式：（4）Vorobyev公式：4375BLL3275BLL313540BLL75)(465)29250(BBBLL将公式（1）—（4）用来比较1976年奥运会的抓举成绩，各公式对九个级别冠军成绩的优劣排序如表所示，比较结果较为一致，例如，对前三名的取法是完全一致的，其他排序的差异也较为微小。138.5(8)141.9(7)135.6(7)131.8(8)175110150.3(2)152.9(2)150.5(2)148.3(2)17090152.1(1)153.5(1)152.2(1)151.3(1)162.542.5145.0(6)145.0(5)145.0(3)145.0(6)14575145.8(5)144.7(6)144.8(5)146.1(5)13567.5147.7(3)146.2(3)145.0(3)147.8(3)12560146.6(4)145.7(4)142.8(6)146.3(4)117.556138.8(7)139.7(8)134.0(8)138.2(7)10552VorobyevO’Carroll经典公式Austin抓举成绩(公斤)体重(公斤)我们希望建立一个体重与身高之间的关系式，不难看出两者之间的关系不易通过机理的分析得出，不妨可以采取统计方法，用数据来拟合出与实际情况较为相符的经验公式。为此，我们先作一番抽样调查，测量了十五个不同高度的人的体重，列成了下表，在抽样时，各高度的人都需经适当挑选，既不要太胖也不要太瘦。例2体重与身高的关系将表中的数画到h-w平面上，你会发现这些数据分布很接近某一指数曲线。为此，对h和w均取对数，令x=lnh，y=lnw，将（xi，yi）再画到x-y平面中去（i=1,…,15），这次你会发现这些点几乎就分布在一条直线附近，令此直线的方程为y=ax+b，用最小二乘法求得a≈2.3,b≈2.82，故可取y=2.32x+2.84，即lnw=2.32lnh+2.84，故有w=17.1h2.327566595451体重w（公斤）1.851.781.711.671.63身高h（米）5048413527体重w（公斤）1.601.551.511.351.26身高h（米）2017151210体重w（公斤）1.121.080.960.860.75身高h（米）在使用最小二乘法时，我们并未要求得到的拟合曲线一定要经过所有的样本点，而只是要求了总偏差最小。当实际问题要求拟合曲线必须经过样本点时，我们可以应用数值逼近中的插值法。根据实际问题的不同要求，存在多种不同的插值方法，有只要求过样本点的拉格朗日插值法、牛顿插值法等，有既要求过插值点（即样本点）又对插值点处的导数有所要求的样条（Spline）插值，甚至还有对插值曲线的凹凸也有要求的B样条插值法。本课不准备详细介绍这些细致的插值方法，只是提请读者注意，在建立经验模型时，插值法也是可以使用的数学工具之一。插值方法对插值法感兴趣的同学可以查阅相关书籍，例如由李岳生编著上海科学技术出版社出版的《样条与插值》（1983年出版）等。在建立数学模型时常常需要确定一些参数，