空间点线面位置关系(一)

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2.1空间点、线、平面之间的位置关系1.平面的基本知识(1)平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念,即为不加定义的原始概念.(2)平面的基本特征是无限延展性.平面是理想的,绝对的平(平面是处处平直的面);平面没有大小、没有厚薄和宽窄,是不可度量的.光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象,数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果.思考:能不能说一个平面长4米,宽2米?为什么?不能.画法——立体几何中通常用平行四边形来表示平面,有时也用圆或三角形等图形来表示平面.画平面水平放置时,常把平行四边形的锐角通常画成45°,且横边长等于邻边长的2倍.水平放置ß垂直放置为了增强立体感,如果一个平面被另一个平面遮挡住,常把它遮挡的部分用虚线画出来.(3)平面的画法及表示1.平面的基本知识画出两个竖直放置的相交平面.练习表示方法:ABCD①把希腊字母等写在代表平面的平行四边形的一个角上,如平面,平面.,,②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示,如平面ABCD.③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示,如平面AC或者平面BD.(3)平面的画法及表示1.平面的基本知识(1)点、线、面的表示点(元素):大写字母A、B、C、D……直线(点的集合):小写英文字母或者两个大写英文字母平面(点的集合):用希腊字母表示;用平行四边形顶点字母或者其相对两字母表示.,,abc,,(2)点、线、面之间的位置关系的表示用集合中的关系符号元素与集合关系:集合与集合关系:,,;2.点、直线、平面的位置关系ABa点A在直线a上,记作点B不在直线a上,记作点A在平面α上,记作点B不在平面α上,记作ABα(1)点与直线的位置关系:(2)点与平面的位置关系:AaBaAB2.点、直线、平面的位置关系(3)直线与平面的位置关系:按公共点个数分三类②直线a与平面α有且只有一个公共点,称直线a与平面α相交.记为:③直线a与平面α没有公共点,称直线a与平面α平行.记为:αaαAaαa①直线a与平面α有无数个公共点,称直线a在平面α内,或称平面α通过直线a.记为:a公理1aA//或aaa注1:情况②和③统称为直线a在平面α外,记作2.点、直线、平面的位置关系(4)平面与平面的位置关系:按有否公共点分两类αβaβα①当两个不同平面α与平面β有公共点时,它们的公共点组成直线a,称平面α与平面β相交.记作:②当平面α与平面β没有公共点时,称平面α与平面β平行.记作:公理3a//或注2:当平面α上的所有点都在平面β上时,称平面α与平面β重合.公理2αβ(当两个平面有不共线的三个公共点,则两个平面重合)2.点、直线、平面的位置关系小结:用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系:BaααaαAbaAAB练习AaBaABαβaβααβabA//或aaa//或平面α与平面β重合桌面αAB观察下列问题,你能得到什么结论?直尺落在桌面上(直线AB在平面α内)3.平面的基本性质,,且AlBlABl①图形语言:ABl(1)公理1:若一条直线上的两点在一个平面内,则这条直线在此平面内.②符号语言:③该公理反映了直线与平面的位置关系:可用于判定直线是否在平面内,点是否在平面内,又可用直线检验平面.3.平面的基本性质CBA观察下列问题,你能得到什么结论?自行车需要一个支脚架就可以保持平衡.3.平面的基本性质ABC(3)公理2:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.,,,,不共线有且只有一个平面,使得ABCABC①图形语言:②符号语言:③定义的说明:过不在一条直线上的四点,不一定有平面.故要充分重视“不在一条直线上的三点”这一条件;“有且只有一个”强调的是存在性和唯一性两方面,不能用“只有一个”替代;确定一个平面的“确定”是“有且只有”的同义词.3.平面的基本性质推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面.baαabα推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.ABCa注3:公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据,是证明点、线共面的依据,也是作截面、辅助平面的依据.ABC公理2:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.练习3.平面的基本性质思考:两个平面会不会只有一个公共点呢?不会!因为平面是无限延展的.因此,两个平面有一个公共点,必然有无数个公共点,并且这些公共点在一条直线上.3.平面的基本性质且PlPlPl(2)公理3:若两个不重合的平面有一个公共点,则它们有且只有一条过该点的公共直线.①图形语言:②符号语言:③该公理反映了平面与平面的位置关系:i)该公理是用以判定两个平面相交的依据:只要两个平面有一个公共点,就可判定这两个平面必相交于过该点的一条直线.(找两个面的交线只要找出两个面的两个公共点即可)ii)该公理可用以判定点在直线上:点是某两平面的公共点,线是这两个平面的公共交线,则该点在交线上.3.平面的基本性质,,,D,例1已知求证:直线,,共面.ABCllADBDCDABCDl证明与确定平面:..DllD又,,,,,.ABCllABC又即共面.,,,,,DBDCDADADBDCD4.点线共面问题例2已知三角形ABC的三条边AB、BC、AC与平面α分别交于P、Q、R.求证:P、Q、R共线.BAQRCP证明:同理Q、R也为公共点,所以P、Q、R共线.要证明各点共线,只要证明他们是两个相交平面的公共点.ABCABC.平面平面PABPABC.又平面PP5.证明三点共线、三线共点的问题例3空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点,且EH与FG相交于K.求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.分析:已知EH∩FG=K,要证EH,BD,FG共点.即要证明B,D,K三点共线.而BD是面ABD和面CBD的交线.所以往证K∈面ABD∩面CBD.而显然,由EH∈面ABD,K∈EH,可得K∈面ABD.同理,由FG∈面CBD,K∈FG,可得K∈面CBD.ABCDEFHGK5.证明三点共线、三线共点的问题1111111111,,.(2),,),,,),,.ABCDABCDMCBDACPCMEFABAAiEFDCiiCEDFDA练习正方体中,(1)是该正方体下底面的中心,过作一截面,求证:此截面与对角线的交点一定在上若分别是的中点,求证:四点共面;三线共点ABCDA1B1C1D1M6.知识小结1)公理1,2,3及其用途3)多点共线问题4)多线共点问题2)点线共面问题

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