分析设计之板壳理论

1第三章板壳理论的基本概念与分析方法清华大学工程力学系薛明德2008年10月2板壳理论的基本概念与分析方法一板壳理论的基本概念二轴对称圆平板与平封头三旋转壳的薄膜理论与凸型封头四旋转壳的边缘应力五不同壳体的联结与局部应力3一板壳理论的基本概念教材p.721.1板壳理论的基本假定与适用范围1.2板壳的内力与应力1.3平板与薄壳受力的基本特点1.1板壳线性理论的基本假定与适用范围薄板与薄壳h/R1，w~h工程允许精度:5/1000h/R1/5坐标系：在中面内沿主方向建立正交坐标系(x,y),其外法向z，单位基矢量i×j＝n，微元体：沿主方向作法向截面构成，r1,r2－主曲率半径假设：(1)直法线假设：xz,xy0(2)切平面应力假设：z0(3)略去板壳法向位移沿厚度的变化：w(x,y,z)w(x,y,0)w(x,y)(4)小挠度假设：略去几何非线性zn=ijijxyr1r24zn=ijijxyR1R2坐标系与微元体举例zdor圆平板(r,)坐标系圆柱壳：(x,)坐标系，R1=,R2=RdxozdxR法向截面法向截面球壳(,)坐标系R1=R2=Rddn51.2板壳的内力与应力(应力沿板厚线性分布)内力素：内力，内力矩,2/2/dzThhxxdzThhyy2/2/面内拉力N/mdzThhxyxy2/2/面内剪力N/m,2/2/dzNhhxzxdzNhhyzy2/2/横剪力N/mTynijxyhzTxTxTyTxyTxyNyNyNxNx61.2板壳的内力与应力(应力沿板厚线性分布)内力素：内力矩,2/2/dzzMhhxxzdzMhhyy2/2/弯矩Nm/mzdzMhhxyxy2/2/扭矩Nm/m,62hMhTxxx,62hMhTyyy26hMhTxyxyxynijxyhzMxyMxyMyxMyxMxMxMyMyMyhyMyxhyxMxyxyzxy71.2板壳的内力与应力(应力沿板厚线性分布)内力素：内力，内力矩,2/2/dzThhxxdzThhyy2/2/面内拉力N/mdzThhxyxy2/2/面内剪力N/m,2/2/dzzMhhxxzdzMhhyy2/2/弯矩Nm/mzdzMhhxyxy2/2/扭矩Nm/m,2/2/dzNhhxzxdzNhhyzy2/2/横剪力N/mTynijxyhzTxTxTyTxyTxyMxyMxyMxyMxyMxMxMyMyNyNyNxNx81.3平板与薄壳受力的基本特点薄板受力以弯曲为主薄壳受力以拉压为主，弯曲应力从壳边缘向内部迅速衰减几种承力结构形式的比较：梁lhbPlhbP杆=P/bhumax=Pl/Ebh杆max梁=6Pl/bh2wmax=4Pl3/Ebh3max梁/杆=6l/h1,wmax/umax=4(l/h)21杆优于梁(1)(2)max梁=3ql2/4bh2梁拱max拱=ql2/8fbhcosblhqmax拱/max梁=h/6fcos拱优于梁2)(4lxlxfylqfh9由于拱轴线弯曲，沿截面均匀分布的轴力方向随轴线上不同的位置而变化，从而使得仅由拱中轴力平衡横向外载荷成为可能；而直梁只能由弯曲应力平衡横向外载。赵州桥的结构是如此合乎逻辑和美丽，使大部分西方古桥相比之下显得笨重和不明确。现存世界上最古老、跨度最大的拱桥是我国河北省的赵州安济桥，为隋朝李春建于594－605年，跨度达37.02m，拱圈矢高7.23m，宽9m。拱的局限性：1．对于一定轴线形状的拱，其中每个截面弯矩恒等于零的要求只在一定形式的载荷下才能达到。2.拱的支座必须能够提供与拱轴线方向一致的支反力。10几种承力结构形式的比较：二维承力优于一维承力，曲面优于平面ayxayx(3)简支梁(高h)受面力p四边简支板(厚h)受面力p梁max=0.75p(a/h)2板max=0.287p(a/h)2w梁max=0.1562pa4/Eh3w板max=0.0443pa4/Eh3板max/梁max=0.383w板max/w梁max=0.284板优于梁(4)简支板(直径D,厚h)受面力p壳(直径D,厚h)受面力pr,板max=0.309p(D/h)2r壳=壳=0.25pD/h壳/r,板max=0.83h/D壳远优于板pp11壳相对于板的优点又远胜于拱相对于梁的优点。对于一定形式的拱，只在相应的一定形式的载荷作用下拱内弯矩才等于零；但对于壳，则可以在各种不同形式的分布载荷作用下做到壳内弯矩为零或者很小，或壳内弯矩虽然较大但只作用在局部区域。-边缘效应这是由于拱的支座只是点支承；而壳的边缘是封闭曲线。壳体是中面为曲面的二维结构，在承受法向面载荷时，壳体同时兼有拱与板相对于梁的优点。壳具有对不同载荷形式的适应能力：pp12当承受法向面载荷时，绝不能将壳体（二维结构）的承载方式简化为梁（一维结构）的承载方式，这将带来极为保守的结果。例1拱桥如果缺少底部的拉筋将出现灾难性事故，而球壳底部的地脚螺栓常常留有允许热膨胀的间隙。例2用梁的弯曲应力公式计算圆柱壳开孔接管处的弯曲应力将造成极为保守的结果。13二轴对称圆平板与平封头教材p.732.1圆平板的弹性分析2.2圆平板的塑性极限分析2.3与圆柱壳相连接的平封头的设计方法简介2.1圆平板的弹性分析:zdQrQr+dQrMrMr+dMrMMpwoDpdrrwddrrwdrdrwddrwd3222233442挠度方程)1(1223EhD弯曲刚度r=-d2w/dr2,=-dw/rdr几何关系),(22rdrdwdrwdDMr)(22rdrdwdrwdDM弹性关系))0(()(rrrdMddrMMprdrddQrrdrprdrMMdrdMrrQrrr平衡方程：力矩法向力142.1圆平板的弹性分析:zdQrQr+dQrMrMr+dMrMMpwoDpdrrwddrrwdrdrwddrwd3222233442挠度方程3212(1)EhD弯曲刚度圆环板:W=Ar2+Br2lnr+Clnr+K+pr4/64D圆板:W=Ar2+K-Pr2lnr/8D+pr4/64DP－板中心作用的集中力，p－板面上分布压力)(22rdrdwdrwdDMr)(22rdrdwdrwdDM弹性关系)(22rdrdwdrwddrdDQr待定常数A,B,C,K由板边缘的边界条件确定：均匀压力下的无孔圆板：r=0:w有限C=0;Qr=0B=0152.1圆平板的弹性分析–实心圆板受均布侧压周边简支r=a处w=0,Mr=0Mr=p(3+)(a2-r2)/16圆板:w=Ar2+K+pr4/64D,Mr=-2D(1+)A-(3+)pr2/16MrMrM0.206pa20.088pa2rppa/2r,max=0.309p(D/h)20.309/1.5=0.2060.081pa2周边固支r=a处w=0,dw/dr=0Mr=p[(1+)a2-(3+)r2]/16MrrMM-0.125pa2rppa/2pa2/8r,max=0.188p(D/h)20.188/1.5=0.125周边弹性支承r=a处w=0,Mr=-kDdw/adrMrrMM0.103pa2-0.103pa2rppa/20.103pa2r,max=0.155p(D/h)20.155/1.5=0.103rm0r-m0M纯弯：Mr=M=-m0162.2圆平板的塑性极限分析(假设：理想塑性材料)结构的塑性极限状态满足:(1)平衡条件；(2)屈服条件与相关联的流动法则；(3)几何关系与破损机构条件0)()(prMMdrddrdMrdrdrr屈服条件与相关联的流动法则MrMr:=1:0r:=0:1r:=1:-1r:=-1:1r:=-1:0r:=0:-1MsMs-Ms-Ms平衡条件塑性极限弯矩Ms=sh2/4=1.5Me几何关系与破损机构条件r=-d2w/dr2,=-dw/rdr弹性极限弯矩Me=sh2/6s-ss-sTresca屈服条件s172.2圆平板的塑性极限分析(假设：理想塑性材料)均布压力下圆板的极限载荷:塑性承载能力弹性承载能力周边简支圆板MrMrM0.206pa20.088pa2周边固支圆板0.081pa2MrrMM-0.125pa2pe=1.33s(h/R)2pe=0.808s(h/R)2rpps=1.5s(h/R)2ps/pe=1.86s-spa/2s-ss-ss-sppa/2Ms=sh2/4ps=2.82s(h/R)2ps/pe=2.12s-ss-s发挥板的潜能!!塑性铰塑性铰塑性铰182.3与圆柱壳相连接的平封头的设计方法(教材第四章第1节）p.1032.3.1平封头的结构形式与通常采用的设计公式A型无过渡圆弧B型有过渡圆弧192.3与圆柱壳相连接的平封头的设计方法简介2.3.1平封头的结构形式与通常采用的设计公式平封头厚度设计公式：t=D(Kp/[])1/2，[]=Kp(D/t)2K－结构特征系数ASMEVIII-1K(无过渡圆弧)K(有过渡圆弧)0.5s0/s且0.30.5s0/s且0.3GB1500.44s0/s且0.20.16~0.3ADBS0.17~1.2(与s0/s有关)0.17~0.8(与s0/s有关)0.1225~0.20250.1225~0.16法0.250.2025~0.230420平封头厚度设计公式：t=D(Kp/[])1/2=Kp(D/t)2[]K－结构特征系数弹性分析准则校核点PmSm壳体常规设计控制Pm+Pb1.5Sm板中心P+Q3.0Sm与板相联的壳内壁两类联结结构形式：B型：有过渡圆弧－校核点只在板中0.155K0.3091.5[]:(0.125)K(0.206)A型：无过渡圆弧－两个校核点K0.5s0/s(壳上)ppR/2tsRpR/2Q0M0pQ0ppR/2M0=2.3与圆柱壳相连接的平封头的设计方法简介2.3.1平封头的结构形式与通常采用的设计公式212.3与圆柱壳相连接的平封头的设计方法简介2.3.1平封头的结构形式与通常采用的设计公式原有设计方法的问题：1，各国设计规范中K值相差悬殊2，K与壳体壁厚s0/s有关，这是由于限制壳中局部弯曲应力，不致使结构失去安定的缘故。弹性分析对于壳中弯曲应力的设计准则（假设壳中薄膜应力为0）：壳体的塑性极限弯矩：4s2s4s3s22ss平封头与壳体的组合结构的极限压力，不仅与平封头的极限弯矩有关，还应与壳体的极限弯矩有关3s6s26s3222mssS壳中名义弯矩：222.3与圆柱壳相连接的平封头的设计方法2.3.2基于塑性分析的设计公式(JB4732第9章)力学模型基本参数s/R壳厚参数(s(p)/s(s))1/2t/s板厚参数设计准则保守A型B型23t/spssIIIIII/I壳弯II板弯III等强破坏2.3与圆柱壳相连接的平封头的设计方法2.3.2基于塑性分析的设计公式(JB4732第9章)三种塑性破坏模式ps/s与t/s,s/R的关系可以利用塑性极限分析得到s/R=0.02242.3与圆柱壳相连接的平封头的设计方法2.3.2基于塑性分析的设计公式(JB4732第9章)平封头设计方法的制定圆柱壳最小壁厚设计公式平封头厚度设计公式K=?spsspsspsnnpRtpnRtK)()(2)(2)(41)(41ps/s(p)与t/s,s/R的关系可以利用塑性极限分析得到s/s0=1,等强破坏，极限压力就是壳的ps=pns=s(s)s0/R)()(410)()()(2sRnnRtKspsssps