数值计算方法-正交多项式

§4正交多项式(1),则称函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上正交.0)()(badxxgxf(2),则称函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上带权(x)正交.0)()()(badxxgxfx(3)代数多项式序列(下标k为多项式的次数,gk(x)表示k次多项式),在区间[a,b]上满足0)}({kkxg一、正交多项式定义1banbamndxxgxdxxgxgx0))()((0)()()(2当m≠n当m=n则称多项式序列为区间[a,b]上带权(x)的正交多项式序列0)}({kkxg若n次多项式gn(x)中含xn项的系数为dn,则称dn为gn(x)的首次系数;dn≠0时,称为首次系数为1的n次多项式.nnndxgxg)()(*定义2若是区间[a,b]上带权(x)的正交多项式序列,则它们线性无关.nkkxg0)}({对任意的x[a,b]0)(0nkkkxgc若两边同乘(x)gl(x)(l=0,1,..n),并从a到b积分,由的正交性定义中的(3)可知必有cl=0nkkxg0)}({故正交多项式序列线性无关.nkkxg0)}({性质1证明二、正交多项式性质若为[a,b]上带权(x)的正交多项式序列,且,则0)}({kkxg],[)(baPxqnbakdxxgxqx0)()()((1)k=n+1,n+2,…(2)baindxxxgx0)()(i=0,1,…,n-1记badxxgxfxgf)()()(),([a,b]上带权函数(x)的正交多项式序列相邻三项的递推关系为0)}({kkxgi=1,2,…其中1nnndad1(,)(,)nnnnnnndgxgdgg性质2性质3)()())(()(111xgxgxxgnnnnnn111211(,),(,)nnnnnnnnddggdgg[a,b]上带权函数的正交多项式序列中任意相邻两个正交多项式gn(x)和gn+1(x)的根相间.0{()}kkgx()x11,,nnnddd11(),(),()nnngxgxgx为的首项系数若记gn(x),gn+1(x)的根分别为,则所谓与的根相间,即是指这两个正交多项式的根有如下的关系.1()ngx()ngxninix1)(}{11)1(}{njnjx)1(2)(1)1(1)()1(nininininixxxxxi=1,…,n-1性质4常见的正交多项式有Legendre(勒让德)多项式、Hermite多项式、Chebyshev多项式以及Jacobi多项式。(1)区间[a,b]上带权函数(x)的正交多项式序列与对应元素之间只相差一个比例常数.0{()}nnfx0{()}nngx(2)区间[a,b]上带权函数(x)首项系数为1的正交多项式序列唯一.*0{()}nngx性质5施密特正交化公式nααα,,,21线性无关11αβ1111222),(),(ββββααβ11111111),(),(),(),(nnnnnnnnββββαββββααβ…三、Legendre多项式Pn(x)[-1,1]上由{1,x,…,xn,…}带权ρ(x)≡1正交化得到的多项式序列.(1)多项式定义定义3隐式表达式,2,1,)1(!21)(1)(20ndxxdnxPxPnnnnn显式表达式,2,1,)!2()!(!)22()1(21)(1)(020nxjnjnjjnxPxPNjjnjnn其中2/)1(2/nnN当n为偶数时当n为奇数时在[-1,1]上带权ρ(x)≡1正交化{1,x,…,xn,…}例解11111111dxdxxx120xxxxdxxxdxxdxdxxx111121111221111312x…1)(0xP1)1,1()1,()(1xxxP)())(),(())(,()())(),(())(,()(111120000222xPxPxPxPxxPxPxPxPxxxP(2)多项式的主要性质①n次Legendre多项式Pn(x)的首项系数2)!(2)!2()(nnxdnn当x=-1②当x=1,nnP)1(1)1(1220)()(),(11ndxxPxPPPnmnm当mn当m=n③④Legendre多项式相邻三项的递推关系为n=1,2,…1)(0xPxxP)(1)(1)(112)(11xPnnxPnnxxPnnn⑤在所有最高项系数为1的n次多项式中,最高项系数为1的Legendre多项式Pn(x)在[-1,1]上与零的平方误差最小.(1)多项式定义定义4四、Chebyshev多项式Tn(x)[-1,1]上由{1,x,…,xn,…}带权正交化得到的多项式序列.211)(xx显式表达为:Tn(x)=cos(narccosx),|x|≤1Chebyshev多项式序列在[-1,1]上满足0)}({kkxT02001)()(112nmnmnmdxxxTxTnm性质6n次Chebyshev多项式Tn(x)的首项系数为2n-1性质7n次Chebyshev多项式相邻三项有递推关系：T0(x)=1,T1(x)=x,Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x),n=1,2,….性质8(2)Chebyshev多项式的性质当时，即{x1,…,xn}为Tn(x)的n个零点。21cos(1,...,)2kkxknn0)(knxT当时，交错取到极大值1和极小值1，即),...,1,0(cosnknktk)(kntT||)(||)1()(xTtTnkkn记1*2)()(nnnxTxT显然是首项系数为1的n次Chebyshev多项式)(*xTn性质9性质10记为一切定义在[－1,1]上首项系数为1的n次多项式的集合]1,1[*nP在中，的无穷模最小]1,1[*nP)(*xTn||)(||*xTn即]1,1[)(,||)(||||)(||****nnnnPxpxpxT这个性质，称为Chebyshev多项式最小模性质.性质11——多项式降次(reducethedegreeofpolynomialwithaminimallossofaccuracy)设f(x)Pn(x)。在降低Pn(x)次数的同时,使因此增加的误差尽可能小,也叫economiza-tionofpowerseries。从Pn中去掉一个含有其最高次项的,结果降次为,则：Pn~Pn1|)(|max|)()(|max|)()(|max]1,1[]1,1[1]1,1[xPxPxfxPxfnnn~因降次而增的误差设Pn的首项系数为an，则取可使精度尽可能少损失。12)()(nnnnxTaxP(3)Chebyshev多项式的应用f(x)=ex在[1,1]上的4阶Taylor展开为246214324xxxxP，此时误差023.0||!5|)(|54xexR请将其降为2阶多项式。取)81(241)(2124124434xxxTP188244xxT（查表知）)81(24162123244xxxxPP32612413192191xxx取)43(61)(21613323xxxTPxxT3433（查表知）192191892413~233xxPP2||()||0.047xePx若简单取，则误差21)(22xxxP45.0!3e注：对一般区间[a,b]，先将x换为t，考虑f(t)在[1,1]上的逼近Pn(t)，再将t换回x，最后得到Pn(x)。例1解定义6(1)第二类Chebyshev多项式Un(x)相邻三项的递推关系为五、其它正交多项式(-1,+1)上权函数的正交多项式序列21)(xx显式表达:21])1[()(xarccosxnsinxUnnmnmdxxxUxUUUnmnm201)()(),(112U0(x)=1,U1(x)=2xn=1,2,…)()(2)(11xUxxUxUnnn定义7(2)拉盖尔Laguerre多项式Ln(x)相邻三项的递推关系为[0,+∞)上权函数的正交多项式序列显式表达:L0(x)=1,L1(x)=1-xn=1,2,…xex)(nxnnnndxexdexL)()(nmnnmdxxLxLeLLnmxnm2)!(0)()(),()()(2)(11xLxxLxLnnn定义8(3)Hermite多项式Hn(x)nxnxnndxedexH)()1()(222)(xex相邻三项的递推关系为H0(x)=1,H1(x)=2x)(2)(2)(11xnHxxHxHnnnn=1,2,…[-∞,+∞)上权函数的正交多项式序列显式表达:nmnnmdxxHxHeHHnnmxnm!20)()(),(2(4)Jacobi多项式(,)()(1)(1)[(1)(1)]nnnnnndJxKxxxxdx121(2)!2nnKn(1)2!nnnKn其中或定义9[-1,1]上权函数为的正交多项式,其中-1,-1)1()1()(xxx记为)(),(xJn显式表达: