第8章自回归条件异方差模型

第八章条件异方差模型本章讨论的重要工具具有与以往不同的目的——建立变量的条件方差或变量波动性模型。建模并预测其变动性通常有如下几个原因:首先，我们可能要分析持有某项资产的风险；其次，预测置信区间可能是时变性的，所以可以通过建立残差方差模型得到更精确的区间；第三，如果误差的异方差是能适当控制的，我们就能得到更有效的估计。本章内容：一、自回归条件异方差模型二、在EViews中估计ARCH模型三、ARCH的估计结果四、ARCH模型的视图与过程五、非对称ARCH模型六、成分ARCH模型(ComponentARCHModel)一、自回归条件异方差模型自回归条件异方差(AutoregressiveConditionalHeteroscedasticityModel，ARCH)模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。ARCH模型是1982年由恩格尔(Engle,R.)提出，并由博勒斯莱文(Bollerslev,T.,1986)发展成为GARCH(GeneralizedARCH)——广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会不会出现异方差呢？会是怎样出现的？恩格尔和克拉格（Kraft,D.,1983）在分析宏观数据时，发现这样一些现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误差的方差中有某种相关性。为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差（ARCH）模型。ARCH的主要思想是时刻t的ut的方差（=t2）依赖于时刻(t1)的残差平方的大小，即依赖于ut2-1。（一）ARCH模型为了说得更具体，让我们回到k-变量回归模型：(9.1.1)并假设在时刻(t1)所有信息已知的条件下，扰动项ut的分布是：~(9.1.2)也就是，ut遵循以0为均值，(0+1u2t-1)为方差的正态分布。由于(9.1.2)中ut的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为ARCH(1)过程：然而，容易加以推广。ttkkttuxxy110)(,02110tuNtu21102)var(tttuu例如，一个ARCH(p)过程可以写为：（9.1.3）如果扰动项方差中没有自相关，就会有H0：这时从而得到误差方差的同方差性情形。恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设：（9.1.4）其中，ût表示从原始回归模型（9.1.1）估计得到的OLS残差。222221102ˆˆˆˆˆˆˆˆptptttuuuu222221102ptptttuuu021p02)var(tu（二）GARCH(1,1)模型常常有理由认为ut的方差依赖于很多时刻之前的变化量（特别是在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如此）。这里的问题在于，我们必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意识到方程(6.1.3)不过是t2的分布滞后模型，我们就能够用一个或两个t2的滞后值代替许多ut2的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型(generalizedautoregressiveconditionalheterosce-dasticitymodel，简记为GARCH模型)。在GARCH模型中，要考虑两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。在标准化的GARCH(1,1)模型中：(9.1.5)(9.1.6)其中：xt是1×(k+1)维外生变量向量，是(k+1)×1维系数向量。(9.1.5)中给出的均值方程是一个带有误差项的外生变量函数。由于t2是以前面信息为基础的一期向前预测方差，所以它被称作条件方差。tttuyγx21212tttu(6.1.6)中给出的条件方差方程是下面三项的函数：1．常数项（均值）：2．用均值方程(6.1.5)的残差平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息：ut2-1（ARCH项）。3．上一期的预测方差：t2-1（GARCH项）。GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指阶数为1的GARCH项（括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项（括号中的第二项）。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个特例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差t2的说明。在EViews中ARCH模型是在误差是条件正态分布的假定下，通过极大似然函数方法估计的。例如，对于GARCH(1,1)，t时期的对数似然函数为：(9.1.7)其中(9.1.8)这个说明通常可以在金融领域得到解释，因为代理商或贸易商可以通过建立长期均值的加权平均（常数），上期的预期方差（GARCH项）和在以前各期中观测到的关于变动性的信息（ARCH项）来预测本期的方差。如果上升或下降的资产收益出乎意料地大，那么贸易商将会增加对下期方差的预期。这个模型还包括了经常可以在财务收益数据中看到的变动组，在这些数据中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。222/)(21log21π)2log(21tttttylγx2121212112)(ttttttuyγx有两个可供选择的方差方程的描述可以帮助解释这个模型：1．如果用条件方差的滞后递归地替代（9.1.6）式的右端，就可以将条件方差表示为滞后残差平方的加权平均：（9.1.9）可以看到GARCH(1,1)方差说明与样本方差类似，但是，它包含了在更大滞后阶数上的，残差的加权条件方差。.12112jtjjtu2．设vt=ut2t2。用其替代方差方程（9.1.6）中的方差并整理，得到关于平方误差的模型：（9.1.10）因此，平方误差服从一个异方差ARMA(1,1)过程。决定波动冲击持久性的自回归的根是加的和。在很多情况下，这个根非常接近1，所以冲击会逐渐减弱。.1212ttttvvuu（三）方差方程的回归因子方程(6.1.6)可以扩展成包含外生的或前定回归因子z的方差方程：（9.1.11）注意到从这个模型中得到的预测方差不能保证是正的。可以引入到这样一些形式的回归算子，它们总是正的，从而将产生负的预测值的可能性降到最小。例如，我们可以要求：（9.1.12）ttttzu21212ttxzGARCH(p,q)模型高阶GARCH模型可以通过选择大于1的p或q得到估计，记作GARCH(p,q)。其方差表示为：（9.1.13）这里，p是GARCH项的阶数，q是ARCH项的阶数。2.1212jtpjjitqiitu（四）ARCH-M模型金融理论表明具有较高可观测到的风险的资产可以获得更高的平均收益，其原因在于人们一般认为金融资产的收益应当与其风险成正比，风险越大，预期的收益就越高。这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为ARCH均值模型(ARCH-in-mean)或ARCH-M回归模型。在ARCH-M中把条件方差引进到均值方程中:（9.1.14）ARCH-M模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件标准差：或取对数ttttuy2γxttttuyγxttttuy)ln(2γxARCH-M模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险紧密相关的金融领域。预期风险的估计系数是风险收益交易的度量。例如，我们可以认为某股票指数，如上证的股票指数的票面收益（returet）依赖于一个常数项，通货膨胀率t以及条件方差：这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为GARCH-M模型。ttttureture221221122112qtqtptpttuu二、在EViews中估计ARCH模型估计GARCH和ARCH模型，首先选择Quick/EstimateEquation或Object/NewObject/Equation，然后在Method的下拉菜单中选择ARCH，得到如下的对话框。(EViews4.0)的对话框(EViews5)的对话框与选择估计方法和样本一样，需要指定均值方程和方差方程。（一）均值方程在因变量编辑栏中输入均值方程形式，均值方程的形式可以用回归列表形式列出因变量及解释变量。如果方程包含常数，可在列表中加入C。如果需要一个更复杂的均值方程，可以用公式的形式输入均值方程。如果解释变量的表达式中含有ARCH—M项，就需要点击对话框右上方对应的按钮。EViews4.0中，只有3个选项：1.选项None表示方程中不含有ARCH−M项；2.选项Std.Dev.表示在方程中加入条件标准差；3.选项Variance则表示在方程中含有条件方差2。而EViews5中的ARCH-M的下拉框中，除了这三个选项外，还添加了一个新的选项：Log(Var)，它表示在均值方程中加入条件方差的对数ln(2)作为解释变量。（二）方差方程EViews5的选择模型类型列表（1）在model下拉框中可以选择所要估计的ARCH模型的类型，需要注意，EViews5中的模型设定下拉菜单中的PARCH模型是EViews5中新增的模型，在EViews4.0中，并没有这个选项，而是直接将几种类型列在对话框中。（3）在Variance栏中，可以根据需要列出包含在方差方程中的外生变量。由于EViews在进行方差回归时总会包含一个常数项作为解释变量，所以不必在变量表中列出C。（2）设定了模型形式以后，就可以选择ARCH项和GARCH项的阶数。缺省的形式为包含一阶ARCH项和一阶GARCH项的模型，这是现在最普遍的设定。如果要估计一个非对称的模型，就应该在Threshold编辑栏中输入非对称项的数目，缺省的设置是不估计非对称的模型，即该选项的个数为0。仍需注意的是，这个Threshold编辑栏也是EViews5新增的选项，即EViews5可以估计含有多个非对称项的非对称模型。在EViews4.0中，并没有这个选项，非对称模型中的非对称项只能有1项。（4）Error组合框是EViews5新增的对话框，它可以设定误差的分布形式，缺省的形式为Normal（Gaussian），备选的选项有：Student’s-t，GeneralizedError（GED）、Student’s-twithfixeddf.和GEDwithfixedparameter。需要注意，选择了后两个选项的任何一项都会弹出一个选择框，需要在这个选择框中分别为这两个分布的固定参数设定一个值。在EViews4.0中，并没有Error选项，误差的条件分布形式默认为Normal（Gaussian）。（三）估计选项（Options）EViews为我们提供了可以进入许多估计方法的设置。只要点击Options按钮并按要求填写对话即可。1.回推(Backcasting)在缺省的情况下，MA初始的扰动项和GARCH项中要求的初始预测方差都是用回推方法来确定初始值的。如果不选择回推算法，EViews会设置残差为零来初始化MA过程，用无条件方差来设置初始化的方差和残差值。但是经验告诉我们，使用回推指数平滑算法通常比使用无条件方差来初始化GARCH模型的效果要理想。2.系数协方差(CoefficientCovariance)点击HeteroskedasticityConsi