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2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析(完完完完整精准版整精准版整精准版整精准版)一一一一、、、、选择题选择题选择题选择题：：：：1~8小题小题小题小题，，，，每小题每小题每小题每小题4分分分分，，，，共共共共32分分分分，，，，下列每题给出四个选项中下列每题给出四个选项中下列每题给出四个选项中下列每题给出四个选项中，，，，只有一个选项只有一个选项只有一个选项只有一个选项符合题目要求的符合题目要求的符合题目要求的符合题目要求的，，，，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上请将所选项的字母填在答题纸指定位置上请将所选项的字母填在答题纸指定位置上请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。。。。（1）下列曲线中有渐近线的是（A）sinyxx=+.(B)2sinyxx=+.(C)1sinyxx=+.(D)21sinyxx=+.【【【【解析解析解析解析】】】】1sin()11limlimlim(1sin)1xxxxfxxaxxxx→∞→∞→∞+===+=11lim[()]lim[sin]limsin0xxxbfxaxxxxx→∞→∞→∞=-=+-==∴y=x是y=x+1sinx的斜渐近线【【【【答案答案答案答案】】】】C(2)设函数()fx具有2阶导数，()()()()011gxfxfx=-+,则在区间[0，1]上（）(A)当0fx′≥（）时，()()fxgx≥.(B)当0fx′≥（）时，()()fxgx≤(C)当0fx′≥（）时，()()fxgx≥.(D)当0f′≥时，()()fxgx≤【【【【解析解析解析解析】】】】当()0fx″≥时，()fx是凹函数而()gx是连接()()0,0f与()1,1f（）的直线段，如右图故()()fxgx≤【【【【答案答案答案答案】】】】D(3)设(),fxy是连续函数，则21101(,)yydyfxy---=∫∫（A）211010110(,)(,)xxdxfxydydxfxydy---+∫∫∫∫.（B）211000011(,)(,)xxdxfxydydxfxydy----+∫∫∫∫.（C）112cossin0002(cos,sin)(cos,sin).dfrrdrdfrrdrππθθπθθθθθθ++∫∫∫∫（D）112cossin0002(cos,sin)(cos,sin).dfrrrdrdfrrrdrππθθπθθθθθθ++∫∫∫∫【【【【解析解析解析解析】】】】积分区域如图0≤y≤1.211yxy--≤≤-用极坐标表示，即：D1:,012rπθπ≤≤≤≤D2:10,02cossinrπθθθ≤≤≤≤+【【【【答案答案答案答案】】】】D（4）若{}2211,(cossin)(cossin)minabRxaxbxdxxaxbxdxππππ--∈--=--∫∫，则11cossinaxbx+=（A）2sinxπ.(B)2cosx.(C)2sinxπ.(D)2cosxπ.【【【【解析解析解析解析】】】】令2(,)(cossin)Zabxaxbxdxππ-=--∫2(cossin)(cos)0(1)2(cossin)(sin)0(2)abZxaxbxxdxZxaxbxxdxππππ--′=---=′=---=∫∫由（1）得202cos0axdxπ=∫故10,0aa==由（2）得0120sin22sinxxdxbbxdxππ===∫∫【【【【答案答案答案答案】】】】A(5)行列式00000000ababcdcd=（A）（ad-bc）2（B）-（ad-bc）2。（C）a2d2-b2c2.(D)b2c2-a2d2【【【【解析解析解析解析】】】】41440000004(1)00(1)00000000ababababcbdacdcdcdcd++-+-按第行展开32212(1)(1)()()()()()ababcbdacdcdadbcbcadadbcadbcbcadadbc++=-⋅-+⋅⋅-=-⋅--=--=--【【【【答案答案答案答案】】】】B(6)设1α，2α，3α均为3维向量，则对任意常数,kl，向量组1323klαααα++，线性无关是向量组1α，2α，3α线性无关的（）（A）必要非充分条件.(B)充分非必要条件.（C）充分必要条件.(D)既非充分也非必要条件.【【【【解解解解析析析析】】】】由132312310(,)(,,)01klklααααααα++=知，当123,,ααα线性无关时，因为10001≠所以1323,klαααα++线性无关反之不成立如当30α=,1α与2α线性无关时，123,,ααα线性相关【【【【答案答案答案答案】】】】A（7）设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0.5，P(A-B)=0.3，则P(B-A)=（）（A）0.1(B)0.2(C)0.3(D)0.4【【【【解析解析解析解析】】】】P（A-B）=P（A）-P(AB)∵A与B相互独立∴P（AB）=P（A）P（B）∴P（A-B）=P（A）-P（A）P（B）=P（A）[1-P（B）]=0.3P（A）（1-0.5）=0.3∴P（A）=0.6P（AB）=P（A）P（B）=0.6×05=0.3∴P（B-A）=P（B）-P（BA）=0.5-0.3=0.2【【【【答案答案答案答案】】】】B（8）设连续性随机变量X1与X2相互独立，且方差均存在，X1与X2的概率密度分别为1fx（）与()2fx，随机变量Y1的概率密度为()1Yfy=121[()()]2fyfy+，随机变量Y2=121()2XX+.则（）(A)EY1EY2，DY1DY2(B)EY1=EY2，DY1=DY2(C)EY1=EY2，DY1DY2(D)EY1=EY2，DY1DY2【【【【解析解析解析解析】】】】∫∫∫+∞∞-+∞∞-∞∞-+=+=dyyyfdyyyfdyyfyfyEY)(21)(21)](21)(21[21211121122EXEX=+21212111[()]222EYEXXEXEX=+=+∴21EYEY=2221212212121)(21)(21EXEXdyyfyfyEY+=+=∫+∞∞-122222221212121212111111111()()222222442DYEXEXEXEXEXEXEXEXEXEX=+-+=+---=212221212141414141EXEXEXEXDXDX-+++=22212121212121111112()()444444DXDXEXEXEXXDXDXEXX+++-=++-21212111()244DYDXXDXDX=+=+∴21DYDY【【【【答案答案答案答案】】】】D二二二二、、、、填空题填空题填空题填空题：：：：9~14小题小题小题小题，，，，每小题每小题每小题每小题4分分分分，，，，共共共共24分分分分，，，，请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上。。。。（9）曲面()221sin1sinzxyyx=-+-（）在点（1，0，1）处的切平面方程为.【【【【解析解析解析解析】】】】在点（1，0，1）处，2[2(1sin)cos]2(1,0,1)(1,0,1)xxyyxz--==2[cos2(1sin)]1(1,0,1)(1,0,1)yxyyxz-+-==-切平面方程为0)1)(1()0()1(=--+-+-zyzxzyx即012=---zyx（10）设()fx是周期为4的可导奇函数，且21fxx′=-（）（）,[0,2],(7)xf∈则=-.【【【【解析解析解析解析】】】】∵)(xf是周期为4的可导函数∴0)0()1()1()3()7(=-=-==fffff且又2()2(1)()2(0)00fxxfxxxcfC′=-∴=-+==将代入得∴]2,0[2)(2∈-=xxxxf∴(1)1(7)(1)1fff=-=-=从而（11）微分方程()lnlntxyyxy+-=0满足条件y(1)=e3的解为y=__________.【【【【解析解析解析解析】】】】0)ln(ln=-+′yxyyx即0ln=+′yxyyx两边同除x得0ln=+′yxxyy令xyu=，则xuy=，dxduxudxdy+=代入上式得01ln=++uudxduxu整理得dxxuudu1)1(ln=-两端积分得1ln(ln1)dudxCuux=+-∫∫∫∫+=--Cdxxuudln11ln)1(ln11321ln1(1)2cxcxxucxueyxeyeCyxe+++-=====∴=将代入上式得（12）设L是柱面221xy+=与平面0yz+=的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲面积分[]zdxydz+∫=___________.【【【【解析解析解析解析】】】】令cossinsinxtytzt===-]2,0[:πt∴[]∫∫π-+--=+Ldtttttydzzdx20)cos(sin)sin(sintdtdttsin)sin(22cos12020-+-=∫∫πππ=+π=0（13）设二次型()22212311323,,24fxxxxxaxxxx=-++的负惯性指数是1,则a的取值范围_________.【【【【解析解析解析解析】】】】1001220aAa=-因为1231230,||,Aλλλλλλ++=++=负惯性指数为1∴设10,λ从而230λλ≥||0A∴≤①若||0A，则1230,0,0.λλλ此时符合题意而24Aa=-240.a∴-即-2a2.②若0A=,则1230,0,0,λλλ=此时2a=±当2a=时102012220A=-102012(3)(3)22EAλλλλλλλ--=+-=+---1233,3,0λλλ=-==2a∴=符合题意当a=-2时102012220A-=--102012(3)(3)22Aλλλλλλλ-Ε-=+-=+--1233,3,0λλλ=-==符合题意综上，a的取值范围是22a-≤≤（14）设总体X的概率密度为f(x,θ)=22,230,xxθθθ其他，其中θ是未知数，X1,X2,…,Xπ为来自总体X的简单样本，若21nicx=∑是θ的无偏估计，则c=_________.【【【【解析解析解析解析】】】】22223422222212()3343xXxdxdxxθθθθθθθθθθΕ=⋅==⋅∫∫4221515.62θθθ=⋅=2221152()().25nniiiiCXCXCnCnθ==Ε=Ε=⋅⋅⇒=∑∑三三三三、、、、解答题解答题解答题解答题：：：：15～～～～23小题小题小题小题，，，，共共共共94分分分分，，，，请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、、、、证明过程成消算步骤证明过程成消算步骤证明过程成消算步骤证明过程成消算步骤.（15）（本题满分10分）求极限)11ln(])1([lim2112xxdttetxtx+--∫+∞→。【【【【解解解解】】】】)11ln(1])1([lim)11ln(])1([lim1122112xxxdttetxxdttetxtxxtx+⋅--=+--∫∫+∞→+∞→])1([lim])1([lim12112xexxdttetxxxtx--=--=+∞→+∞→∫2121lim1lim)11(lim02012=-=--=--=→→+∞→tettexexttttxx。（16）（本题满分10分）设函数)(xfy=由方程06223=+++yxxyy确定，求)(xf的极值。【【【【解解解解】】】】由06223=+++yxxyy得2223