北航空气动力学课件第二章

Folie1空气动力学第二章流体运动学和动力学基础（12学时）*本章讲授内容比教材第二章多Folie22010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课第2章流体运动学和动力学基础•2.1描述流体运动的方法2.1.1两种描述方法2.1.2欧拉法的加速度表达式2.1.3流线、流管、流面与流量•2.2流体微团运动的分析•2.3理想流体运动微分方程组2.3.1连续方程2.3.2Euler运动微分方程组2.3.3Bernoulli积分及其物理意义2.3.4Bernoulli方程的应用•2.4流体运动的积分方程2.4.1Lagrange型积分方程2.4.2Reynolds输运方程2.4.3Euler型积分方程•2.5环量与涡2.5.1环量与涡的概念2.5.2环量与涡量的关系2.5.3涡的诱导速度2.5.3理想流中的涡定理Folie32010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.1描述流体运动的方法2.1.1拉格朗日方法与欧拉方法连续介质假设：流体是由质点组成，无空隙地充满所占据的空间。对于无数多的流体质点，当其发生运动时，如何正确描述和区分各流体质点的运动行为，将是流体运动学必须回答的问题。描述流体运动的方法有两种。Folie42010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.1描述流体运动的方法1、Lagrange方法（拉格朗日方法，质点法）Lagrange(1736-1813)，法国数学家、物理学家，分析力学的创始人，曾被拿破仑称为“数学科学高耸的金字塔”。在该方法中，观察者着眼于个别流体质点的流动行为，通过跟踪每个质点的运动历程，从而获得整个流场的运动规律。（迹线的概念）描述刚体运动常用的方法漂流瓶Folie52010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课x(a,b,c,t),y(a,b,c,t),z(a,b,c,t)其中，a,b,c为流体质点的标识符，用于区分和识别各质点，可理解为某个时刻质点存在的空间位置坐标。t表示时间。a.b.c.t称为拉格朗日变数。a.b.c给定，表示指定质点的轨迹。t给定，表示在给定时刻不同质点的空间位置。(警察抓小偷的方法)xyztzyx,,·(a,b,c)2.1描述流体运动的方法Folie62010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课质点法—观察者着眼于个别流体质点，所获取的第一手资料是流体质点的轨迹2.1描述流体运动的方法Folie72010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课对于给定流体质点，速度表达式是流体质点的加速度为ttcbazwttcbayvttcbaxu),,,(,),,,(,),,,(222222),,,(,),,,(,),,,(ttcbazattcbayattcbaxazyx2.1描述流体运动的方法Folie82010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课流体质点的其它物理量也都是a,b,c,t的函数。迹线方程为dtwdzvdyudx2.1描述流体运动的方法Folie92010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2、Euler方法（欧拉方法，空间点法，流场法）Euler(1707-1783)，瑞士数学家、物理学家，提出变分原理，建立了理想流体运动方程。在该方法中，观察者相对于坐标系是固定不动的，着眼于不同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空间点流体质点经过的运动情况，从而获得整个流场的运动规律。（引出流线概念）2.1描述流体运动的方法漂流瓶-水位测量Folie102010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.1描述流体运动的方法欧拉LeonhardEuler（1707－1783年）瑞士数学家.欧拉是世界史上最伟大的数学家之一.他从19岁就开始著书，直到76岁高龄仍继续写作.几乎每个数学领域，都可以看到欧拉的名字.如初等几何的欧拉线、多面体的欧拉定理、立体解析几何的欧拉变换公式、四次方程的欧拉解法、数论中的欧拉函数、微分方程的欧拉方程、级数论中欧拉常数、变分学的欧拉方程、复变函数论欧拉公式等。1755年欧拉建立了理想不可压流体运动的微分方程组（欧拉方程）。六年后，拉格朗日引入流函数的概念，建立了理想流体无旋运动所满足的动力学条件，提出求解这类运动的复位势法（第三章内容）。Folie112010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课其中，x,y,z为空间点的坐标。t表示时间。x.y.z.t称为欧拉变数。x.y.z给定，t变化，表示不同时刻不同流体质点通过同一空间点的速度。t给定，x.y.z变化，表示给定时刻，不同流体质点通过不同空间点的速度，给定速度场。(守株待兔，看门房式的工作方法)),,,(V),,,(),,,(tzyxwkwjviutzyxvtzyxu2.1描述流体运动的方法Folie122010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.1描述流体运动的方法Folie132010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课应指出，空间点速度本质上指的是t瞬时恰好占据该空间点的流体质点所具有的速度。一个布满了某种物理量的空间称为场。流体流动所占据的空间称为流场。如果物理量是速度，描述的是速度场。如果是压强，称为压强场。在高速流动时，气流的密度和温度也随流动有变化，那就还有一个密度场和温度场。这都包括在流场的概念之内。2.1描述流体运动的方法速度、压力、温度都不是物性参数，而是流动参数Folie142010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课如果场只是空间坐标的函数而与时间无关则称为定常场,否则为非定常场。对于定常速度场的表达为：),,(zyxuu一个速度场2.1描述流体运动的方法Folie152010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课用欧拉法来描述流场时，观察者直接测量到的是速度，那么在流体质点的运动过程中，质点的速度变化是如何引起的，怎样正确表示流体质点的加速度呢，以下面例子说明之。2.1描述流体运动的方法Folie162010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课参看下图，第1图表示流体质点从A流到B速度不变；第2图表示流体质点从A流到B点，因水位下降引起速度减小；第3图表示流体质点从A流到B点，因管道收缩引起速度增加；第4图表示流体质点从A流到B点，因水位下降和管道收缩引起速度的变化。水位下降表示流场的非定常性，管道收缩表示流场的不均匀性。由此可见，一般情况下引起流体质点速度的变化来自于两方面的贡献：其一是流场的不均匀性，其二是流场的非定常性。2.1描述流体运动的方法进入较冷的山洞的同时，有朋友用雪球砸到脖子Folie172010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课设速度函数具有一阶连续的偏导数，现在来求加速度。设某一流体质点在t时刻位于流场中M点，经过微分时段位于N点，根据加速度定义有2.1.2欧拉法的加速度表达式ttMVtNVttNVttNVdtVdttMVttNVtVdtVdatttt),(),(lim),(),(lim),(),(limlim0000当地随时间的变化，非定常性当时随空间的变化，非均匀性Folie182010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课根据泰勒级数展开，流场非定常性引起的速度变化为)(),(),(),(2tOtttNVtNVttNVtVttMVttOtttNVttNVttNVtt),()(),(lim),(),(lim2002.1.2欧拉法的加速度表达式Folie192010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课由于流场不均匀性引起的速度变化为),...,(),(),(),(),(),(),...,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),(22xOzztMVyytMVxxtMVtMVtNVxOzztzyxVyytzyxVxxtzyxVtzyxVtzzyyxxVtNV2.1.2欧拉法的加速度表达式M点为(x,y,z)，N点为(x+Δx,y+Δy,z+Δz)Folie202010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课由于流场不均匀性引起的速度变化为ztMVwytMVvxtMVuztMVtzytMVtyxtMVtxtxOzztMVyytMVxxtMVttMVtNVttttt),(),(),(),(lim),(lim),(lim),...,(),(),(),(lim),(),(lim0002002.1.2欧拉法的加速度表达式Folie212010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课综合起来，得到流体质点的全加速度为VVtVdtVdazVwyVvxVutVdtVda)(2.1.2欧拉法的加速度表达式kzjyix哈密顿算子：Folie222010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课等式右边第1项表示速度对时间的偏导数，是由流场的非定常性引起的，称为局部加速度，或当地加速度；右边第2项表示因流体质点位置迁移引起的加速度，称为迁移加速度，位变加速度，或对流加速度。二者的合成称为全加速度，或随体加速度。写成分量形式为2.1.2欧拉法的加速度表达式duuuuuuvwdttxyzdvvvvvuvwdttxyzdVVtVdtVdazVwyVvxVutVdtVda)(Folie232010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课算子表示随流体质点运动的导数，称随体导数。除速度外，对流场中其它变量也成立。如对于压强p，有zwyvxutdtddpppppuvwdttxyz2.1.2欧拉法的加速度表达式Folie242010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课如果流动参数是一维空间流程坐标s和时间t的函数，速度场为v（s,t）。则全加速度表示为：svvtvDtDvasvs2.1.2欧拉法的加速度表达式Folie252010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课根据上述分析，可得出以下各图中的加速度表达式。2.1.2欧拉法的加速度表达式Folie262010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课在某一瞬时t，从流场中某点出发，顺着这一点的速度指向画一个微分段到达邻点，再按邻点在同一瞬时的速度指向再画一个微分段，一直画下去，当取微分段趋于零时，便得到一条光滑的曲线。在这条曲线上，任何一点的切线方向均与占据该点的流体质点速度方向指向一致，这样曲线称为流线。在任何瞬时，在流场中可绘制无数条这样的流线。流线的引入，对定性刻画流场具有重要意义。2.1.3流线、流管、流面与流量时间t固定Folie272010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课由于流线上各点的切线方向与该点的速度方向一致，则流线上的切线方向的三个余弦dx/ds，dy/ds，dz/ds必和流速分量与合速度组成的三个方向余弦相同。表示为微分的关系是Vdswdzvdyudx称为流线微分方程2.1.3流线、流管、流面与流量在拉格朗日体系下的迹线方程：dtwdzvdyudx（欧拉体系下）Folie282010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课流线是反映流场瞬时流速方向的曲线。其是同一时刻，由不同流体质点组