北航空气动力学课件第3章

EXIT1/65第3章理想不可压缩流体平面位流§3．1理想不可压缩流体平面位流的基本方程§3．2几种简单的二维位流§3．2．1直匀流§3．2．2点源§3．2．3偶极子§3．2．4点涡§3．3一些简单的流动迭加举例§3．3．1直匀流加点源§3．3．2直匀流加偶极子§3．3．3直匀流加偶极子加点涡§3．4二维对称物体绕流的数值解EXIT2/65本章讨论怎样求解不可压理想流体无旋运动的规律。•在理想不可压条件下欧拉方程和连续方程包括四个方程和四个未知函数（u,v,w,p），理论上是可解的•由于飞行器的外形都比较复杂，要在满足如此复杂的边界条件下求该偏微分方程组的解析解是非常困难的，原因在于方程包含非线性项，而且方程中速度与压强相互耦合，需要一并求出EXIT3/65•人们发现在无旋条件下问题可以得到大大简化，尤其是可以将速度和压强分开求解，这是因为无旋条件可使关于速度位的方程化为线性方程，从而便于单独求得速度位即求出速度，而压强可利用伯努利方程求解•本章的思路是，先针对理想不可压无旋流求得一些典型的速度位基本解，将这些基本解进行叠加得到满足非常简单边界条件的流动。对复杂外形的绕流，介绍用基本解进行叠加的数值解法大意EXIT4/65§3．1平面不可压位流的基本方程有无旋条件，就有位函数φ存在，并且位函数与速度分量之间满足：平面流动的连续方程是：结合两式，得平面不可压位流必须满足的方程：该方程称为拉普拉斯方程，是个只与速度有关的线性方程，给定适当边界条件方程是容易求解的。ux02222yx1.位函数φ及流函数ψ所满足的方程vy0yvxuEXIT5/65对于二维不可压缩流动，微分形式的质量方程可以写为：0yvxuyvxu数学上这是使成为某个函数ψ的全微分的充要条件，即udyvdxudyvdxdvx其中：uydyydxx或：EXIT6/65代入无旋条件：也满足拉普拉斯方程：这也是只与速度有关的线性方程，给定边条容易求解。位函数与流函数的关系称为柯西－黎曼条件：xyyx,02222yxyuyvEXIT7/652.叠加原理•拉普拉斯方程可用算子▽2表为▽2φ＝0。它是个线性方程，可以用叠加原理求复合的解。•所谓叠加原理是说如果有分别满足拉普拉斯方程，则这些函数的线性组合也必满足拉普拉斯方程：•此外，由于速度分量与位函数之间的关系是线性的因此也满足叠加原理：•而压强与速度间关系为非线性故不满足叠加原理nnnnuauaxaxaxu......111112,,...,nnnaa...11EXIT8/653.边界条件边界条件是在流场边界上规定的条件，边界通常分为内边界和外边界。对飞行器或物体而言，内边界即飞行器或物体表面，外边界为无穷远。数学上满足拉氏方程的函数称为调和函数。故要找一代表具体的定常不可压理想位流运动，就是要找一个能符合具体流动边界条件的调和函数，求出位函数或流函数之后，即可求出速度分布，然后用伯努利方程求解压强分布。EXIT9/65按照在边界上所给条件是针对位函数自身还是位函数的法向导数，边界条件分为三种类型：（1）第一边值问题（狄利希特问题）：给出边界上位函数自身值（2）第二边值问题（诺曼问题）：给出边界上位函数的法向导数值（3）第三边值问题（庞卡莱问题）：给出部分边界上位函数自身值，部分边界上位函数的法向导数值气动问题大多数属于第二边值问题EXIT10/65将坐标系与飞行器或物体固连，则外边界在远离物体处，速度为V∞，内边界是物体表面，不允许流体穿过或表面法向速度为零外边界内边界n为物面法向可以证明，拉普拉斯方程的解若在给定边界上能满足上述条件，则解是唯一的求不可压理想无旋流绕物体的流动问题就转化为求解拉普拉斯方程的满足给定边条的特解这一数学问题Vx0zy0nVEXIT11/65位函数Φ的性质小结(1)速度位函数由无旋条件定义，位函数值可以差任意常数而不影响流动。(2)速度位函数沿着某一方向的偏导数等于该方向的速度分量，速度位函数沿着流线方向增加。(3)对于理想不可压缩无旋流动，速度位函数满足拉普拉斯方程，是调和函数，满足解的线性迭加原理。EXIT12/65(4)速度位函数相等的点连成的线称为等位线，速度方向垂直于等位线。(5)连接任意两点的速度线积分等于该两点的速度位函数之差。速度线积分与路径无关，仅决定于两点的位置。对封闭曲线，速度环量为零。EXIT13/65流函数Ψ的性质小结(1)流函数由平面不可压缩连续条件定义，流函数值可以差任意常数而不影响流动。(2)等流函数线是流线。即等流函数线的切线方向与速度矢量方向重合。(3)对于理想不可压缩无旋流动，流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数，解也满足叠加原理。EXIT14/65(5)平面内任两点流函数的差等于通过此两点连线的流量。(4)等流函数线与等位线正交。1KKK0:,K0:,212211＝－故：＝斜率，可得由＝斜率，可得由vuvdyudxCuvudyvdxCABBABABAddxxdyydsnVQjdsdxidsdyn,jxiyjviuV)(xyABdsnVoEXIT15/65位函数Φ和流函数Ψ之间满足柯西-黎曼条件：速度分量与位函数和流函数之间的关系是：rrrrxyyx标：坐极笛卡儿坐标：rrVrrVxyvyxur,,标：坐极笛卡儿坐标：EXIT16/65§3．2几种简单的二维位流§3．2．1直匀流直匀流是一种速度不变的最简单的平行流动。其流速为流动是无旋的，由速度位全微分积分可得位函数：又可求出流函数：流线与等位线是正交的如图bxaybyaxbdyadxdcbxay'cbyaxaubvEXIT17/65常用的是这样的直匀流，它与x轴平行，从左面远方流来，流速为。此时VyVxVEXIT18/65§3．2．2点源•点源是从流场上某一点有一定的流量向四面八方流开去的一种流动。源可以有正负。负源（又名汇）是一种与正源流向相反的向心流动。如果把源放在坐标原点上，那末这流动便只有Vr，而没有Vθ。xy位于原点的点源实验演示的点源EXIT19/65设半径为r处的流速是Vr，那末这个源的总流量是流量是常数，故流速Vr与半径成反比rQVr2rrvQ2rVx、y向的速度可分别写为代入速度与位函数关系可积分求位函数。cosrVu2222sinyxxQryrQVvryvxu,rxrQ2222yxxQEXIT20/65比较简便的是利用极座标下位函数与速度的关系：rVrVr,由位函数由上式积分得：rQVrr2)ln(4ln222yxQrQ（注：等位线Φ＝C是一系列同心圆）EXIT21/65流函数由积分得：rrxyarctgQQ22（注：流线ψ＝c1即θ＝c2是一系列射线）此外注意上式中θ的值域为[-2π,2π],但反正切函数的值域为[-π/2,π/2]，故两种表达有一定区别。rQVr2xyEXIT22/65如果源的位置不在坐标原点，而在A（ξ,η）处，则22)()(ln2yxQxyarctgQ2相应的速度分量为：2222()2()()()2()()xyQxvxxyQyvyxyuv除奇点处速度无定义之外，流场其他区域都是是无旋的。EXIT23/65点源加1/2强度点汇点源加等强度点汇偶极子§3．2．3偶极子EXIT24/65.p§3．2．3偶极子等强度的一个源和一个汇，放在x轴线上，源放在（-h，0）处，汇放在（0，0）处。从源出来的流量都进入汇，流动情况如图:]ln)([ln22222yxyhxQ)(221Qhxyarctg1xyarctg2其中θ1、θ2分别是点P与源和汇的连线与正x的夹角应用叠加原理，位函数和流函数如下EXIT25/65现在我们考虑一种极限情况，当h→0但同时Q增大，使保持不变的极限情况。这时位函数变成显然等位线Φ=C是一系列圆心在x轴上的圆，且都过原点。2222202ln4),(limyxhxhyxQyxhMQh2))1ln(0(,24220limxxxyxhxQh时当22yxxM除奇点处速度无定义之外，流场其他区域都是是无旋的。EXIT26/65求流函数：上述位函数可写为:rMcos22yMxy利用极座标下流函数与位函数的关系：rr对Ψ积分得：rMsin即：显然流线ψ=C是一些圆心在y轴上的圆，且均过原点。2cosrMEXIT27/65两个分速的表达式是合速要注意偶极子有轴线方向，上述布于x轴上的正负源形成的偶极子其轴线在－x方向，对于指向正x方向的偶极子，上述位函数、流函数和速度分布都要改变符号。2222222cos)()(rMyxxyMxvxu22222sin)()2(rMyxxyMyvyv222rMvuVEXIT28/65如果偶极子轴线和x轴成θ角，正向指向第三象限如图所示，在x’y’坐标系中的位函数及流函数可写为：xysincossincos,,xyyyxx根据二坐标系的旋转变换关系：2,2,,2,2,,yxyMyxxMEXIT29/65代入上述位函数和流函数表达，并注意到坐标旋转时向径不变：x’2+y’2=x2+y2，得到在(x,y)坐标系中的偶极子：如果偶极子位于（ξ，η），轴线和x轴成θ角，正向指向第三象限，则22()cos()sin()()xyMxy22()cos()sin()()yxMxy2222sincossincosyxxyMyxyxMxyξηθEXIT30/65实际旋涡包含有旋的涡核和涡核外的被诱导的无旋流场。rVθ＝ωrVθ＝k/rr0p实际旋涡的涡核内为有旋流涡核外为无旋流白色粉末显示实际旋涡的周向诱导速度随半径增大而减小涡核诱导流场§3．2．4点涡EXIT31/65§3．2．4点涡点涡可以看成实际旋涡的涡核直径趋于零时的一种极限情况，除涡所在一点外，整个平面流场是无旋的，流体被点涡诱导绕点涡作圆周运动，流线是一些同心圆，流速只有周向速度，而没有径向速度。绕点涡的环量Γ是个确定的常数，例如绕半径为r的圆环作环量计算，有：式中的是个常数称为点涡的强度，反时针方向为正。从而周向速度与离开中心点的距离r成反比：VrVθ这与无限长涡线产生的诱导速度一致。rV)2(rVrV2EXIT32/65由几何条件可立刻写出u、v分量：sinVu2222cosyxxrxrVvxyuvVθθ位函数可由上式代入等后积分求出，但方便的还是利用极座标关系：uxrVr2积分后得：xyarctg22显然等位线Φ=C是一系列射线ryr2222yxyEXIT33/65求流函数可由极座标下流函数与位函数的柯西－黎曼关系：rr积分得：)ln(4ln222yxr显然流线ψ=C是一系列同心圆，可见点涡与点源的位函数与流函数只是对调了一下（上述负号只是代表涡转向）。如果点涡的位置不在原点，而