北航空气动力学课件第4章

EXIT1/60第4章粘性流体动力学基础4.1、流体的粘性及其对流动的影响4.2、雷诺实验、层流与湍流4.3、粘性流体的应力状态4.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程4.6、流动相似及相似准则*EXIT2/60工程中遇到的问题大多是粘性流体运动问题，实际的粘性流体运动现象远比理想流复杂，从而控制粘性流体运动的基本方程及其求解也相对复杂以下两章的任务是：•介绍粘性流体运动的基本概念、流动现象和流动特征•建立控制粘性流体运动的基本方程•得到解决粘性流体运动问题的基本思路、方法和途径EXIT3/604.1、流体的粘性及其对流动的影响•流体的粘滞性是指，流体在运动状态下抵抗剪切变形能力。•流体的剪切变形是指流体质点之间出现相对运动。因此流体的粘滞性是指抵抗流体质点之间的相对运动能力。•在静止状态下，流体不能承受剪力。但是在运动状态下，流体可以承受剪力，而且对于不同种流体所承受剪力大小是不同的。EXIT4/604.1、流体的粘性及其对流动的影响粘性流体抵抗剪切变形的能力，可通过流层间的剪切力表现出来（这个剪切力称为内摩擦力）。粘性流体在流动过程中必然要克服内摩擦力做功，因此流体粘滞性是流体发生机械能损失的根源。牛顿的内摩擦定律（Newton，1686年）F=µAU/hFhUEXIT5/604.1、流体的粘性及其对流动的影响流层之间的内摩擦力与接触面上的压力无关。设表示单位面积上的内摩擦力（粘性切应力），则µ-----流体的动力粘性系数（单位：Ns/m2=Pa.s）=µ/---流体的运动粘性系数（单位：m2/s）水=1.13910-6(m2/s)空气=1.46110-5(m2/s)hUAFEXIT6/604.1、流体的粘性及其对流动的影响一般流层速度分布不是直线，如图所示。yu0du/dy----表示单位高度流层的速度增量，称为速度梯度dyduEXIT7/604.1、流体的粘性及其对流动的影响速度梯度du/dy物理上也表示流体质点剪切变形速度或角变形率。如图所示：u+dudydududtdydudtddudtdydEXIT8/604.1流体的粘性及其对流动的影响流体切应力与速度梯度的一般关系为：1.=0+µdu/dy，binghan流体，泥浆、血浆、牙膏等2.=µ（du/dy）0.5，伪塑性流体，尼龙、橡胶、油漆等3.=µdu/dy，牛顿流体，水、空气、汽油、酒精等4.=µ(du/dy)2，胀塑性流体，生面团、浓淀粉糊等5.＝0，µ＝0，理想流体，无粘流体。ndyduBA1dydu23401EXIT9/601、理想流体和粘性流体作用面受力差别4.3、粘性流体的应力状态•静止或理想流体内部任意面上只有法向力，无切向力•粘性流体内部任意面上力既有正向力，也有切向力EXIT10/60•在粘性流体运动中，过任意一点任意方向单位面积上的表面力不一定垂直于作用面，可分解为法向应力和切向应力•如果作用面的法线方向与坐标轴重合，则合应力可分解为三个分量，分别为法应力分量和切应力分量4.3、粘性流体的应力状态2、粘性流体中的应力状态EXIT11/60•从而三个面的合应力可表示为x面:y面:z面:kjixzxyxxxkjiyzyyyxykjizzzyzxz4.3、粘性流体的应力状态•由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表示应力分量的投影方向。•如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么过该点任意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。EXIT12/60zzzyyzyyyxxzxyzxxx上述九个应力分量可写为：这九个应力分量并不全部独力，其中的六个切向应力是两两相等的，所以独立的一共是三个法向的，三个切向的。zyyzzxxzyxxy这个结论可利用对微元六面体的动量矩定理得到证明，思路是：一对剪应力对微元产生的力矩将与彻体力力矩和微元质量的动量矩平衡，而后二者都正比于微元的体积乘以微距离，是一个高阶小量可略去，从而得到这一对剪应力相等。4.3、粘性流体的应力状态注：有的教材将法向应力记为:zzzzyyyyxxxx,,EXIT13/60关于应力的几个要点：（1）在理想流体及静止流体中不存在切应力，三个法向应力相等（各向同性），等于该点压强的负值。即：（2）在粘性运动流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的法向应力之和为一个不变量，并定义此不变量的平均值为该点的平均压强的负值。即：（3）在粘性运动流体中，任意面上的切应力一般不为零。zzyyxxp3zzyyxxp0yxxy4.3、粘性流体的应力状态EXIT14/604.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）•Stokes（1845年）根据牛顿内摩擦定理的启发（粘性流体作直线层状流动时，层间切应力与速度梯度成正比），在一些合理的假设下将牛顿内摩擦定律进行推广，提出广义牛顿内摩擦定理----应力应变率关系（本构关系）：yvzwyvxupyy2)(32zwzwyvxupzz2)(32xuzwyvxupxx2)(32,yuxvxy,zvywyzxwzuzx•这个关系将六个应力与微团的变形率直接联系（线性关系）。满足上述关系的流体称为牛顿流体。EXIT15/60对于不可压缩流体，上述应力应变率关系可化简为：yvpyy2zwpzz2xupxx2yuxvxyzvywyzxwzuzx4.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）本构关系满足：3zzyyxxpEXIT16/604.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程1、流体运动的基本方程利用牛顿第二定理推导以应力形式表示的流体运动微分方程。像推导欧拉方程一样，在流场中取一个微元六面体进行分析，以x方向为例，建立运动方程。现在由于是粘性流体，作用在中心P点处不仅有法向应力，而且还有切向应力，控制面上的应力可用中心点处应力泰勒召开表示。作用在ABCD和A’B’C’D’两个侧面的法向力差是：)(zyxxxx作用在ABB’A’和CDC’D’两个侧面的切向力差是：)(zxyyyxEXIT17/60DtDumFxDtDuzyxzyxzzyxyzyxxzyxfzxyxxxx)()()()()(作用在ADA’D’和BCB’C’两个侧面的切向力差是：)(yxzzzx仍然设单位质量彻体力分量为：fx,fy,fz,按照牛顿第二定律：DtDu是欧拉法表示的加速度或速度的物质导数。4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程EXIT18/60zyxfDtDuzxyxxxx或：同理：zyxfDtDvzyyyxyyzyxfDtDwzzyzxzz将反映粘性应力与应变率关系的广义牛顿内摩擦定理代入上式右端，即得到粘性流动的运动方程N－S方程：（纳维Navier,C.L.M.H.1785-1836,法国力学家、工程师；斯托克斯Stokes,G.G.1819-1903,英国力学家、数学家）4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程EXIT19/60uzwyvxuxxpfDtDux231vzwyvxuyypfDtDvy231wzwyvxuzzpfDtDwz231其中是拉普拉斯算子：2222222zyx2可见，对于理想流右端的粘性项为零，方程化为欧拉方程。4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程EXIT20/60当不可压时，根据连续方程：0zwyvxu则不可压粘流的N－S方程写为：uxpfDtDux2vypfDtDvy2wzpfDtDwz24.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程EXIT21/60VpfDtVD1用三个方向的单位向量i、j、k分别乘上三式并相加，可得不可压粘流N-S方程比较简捷的向量形式：其中为速度分量为哈密顿算子为拉普拉斯算子kwjviuV2222222zyxkzjyix4.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程EXIT22/60与第二章一样，这个方程中速度的随体导数可以加以分解，把涡量分离出来，写成格罗米柯形式的方程也称为兰姆型方程。这样有利于研究流体的有旋性：VpfVVtV12224.5、粘性流体运动方程---Navier-Stokes方程)()(21VVVVVV事实上速度随体导数中迁移加速度项也可以直接应用向量导数运算公式得到：定常、不可压、彻体力有势时格罗米柯方程可化为：VVVp222EXIT23/602、伯努利(Bernoulli)积分伯努利家族（瑞士）前后四代，数十人，形成历史上罕见的数学大家族。其中，Bernoulli,Nocholas(尼古拉斯.伯努利，1623-1708），瑞士伯努利数学家族第一代。Bernoulli,Johann（约翰.伯努利，1667-1748），伯努利数学家族第二代，提出著名的虚位移原理。Bernoulli,Daniel（丹尼尔.伯努利，1700-1782），伯努利数学家族第三代，Johann.伯努利的儿子，著有《流体动力学》（1738），将微积分方法运用到流体动力学中，提出著名的伯努利方程。4.5、粘性流体运动方程---Bernoulli积分EXIT24/604.5、粘性流体运动方程---Bernoulli积分sdV将定常、不可压、彻体力为重力（Ω=gy）条件下的格罗米柯方程沿流线投影得：sdsdVsdVVgypsd222)(22wdzvdyudxdsVgyps)(22wdzvdyudxVgypd沿流线EXIT25/60上式与第二章中得到的有粘性损失一维能量方程形式相同。其中为单位质量流体所具有的机械能，是从1－2流动过程中粘性力做功使每单位质量流体损失的能量。写为高度量纲：如果令:方程变为:)(wdzvdyudxdEdEVpgyd)2(222Vpgy21E212222211122EVpgyVpgy4.5、粘性流体运动方程---Bernoulli积分沿着同一条流线积分，得到：212222211122hgVpygVpyEXIT26/60上式说明，在粘性流体中，沿同一条流线上无论势能、压能和动能如何转化，总机械能是沿程减小的，总是从机械能高的地方流向机械能低的地方，不能保持守恒，减小的部分代表流体质点克服粘性应力做功所消耗的能量。下图是理想流和粘流沿流线（管）的能量关系几何意