[理学]高等数学课件——71amp72定积分的概念性质

7.1&.7.2定积分的概念和性质第一部分定积分的概念实例1（求曲边梯形的面积）一、问题的提出abxyoy=f(x)如图：设y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续,由直线x=a,x=b,y=0,及曲线y=f(x)所围成的图形,称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.baxyobaxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）(1)已知矩形面积＝高×底将[a,b]分成n个小区间,称为子区间.bxxxxxann121011[,]iiiiixxxxx令是的过每个分点作平行于y轴的直线段,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,0xyaby=f(x)记分点为0x1xiixx11nxnx(2)在每个小区[xi-1,xi]上任取一点i12iniiixfA)(小曲边梯形面积长度(3)曲边梯形面积niiinnxfxfxfxfA12211)()()()(将[a,b]分得越细,近似公式越精确.于是:niiixfA10)(lim1max{},(4)0iinx令思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．实例2.变速直线运动的路程.设某物体作变速直线运动.已知速度V=V(t)是时间间隔[T1,T2]上t的连续函数.计算在这段时间内物体所经过的路程S.(1)区间分划在[T1,T2]内任意插入若干个分点212101TtttttTnn将[T1,T2]分成n个小段[t0,t1],[t1,t2],…,[tn-1,tn]1iiittt每小段时间长(2)求近似:在每个子区间[ti-1,ti]上任取一点i由时刻ti-1到时刻ti走过的路程为SiiiitVS)((3)作和:总路程niiinntVtVtVtVS12211)()()()(将时间间隔[ti-1,ti]分得越细,近似公式越精确.于是:01lim()niiiSVt1(4)max{},0iinx令上述两个问题,尽管背景不同,意义不同,但其实质都是计算一种和式的极限,事实上,就是求给定函数的定积分.总之:二、定积分定义1.定义:设函数f(x)在[a,b]上有界,将[a,b]任意分成n个子区间,分点为bxxxxxann1210在每个子区间[xi-1,xi]上任取一点i,i[xi-1,xi],01lim(),niiifx如果极限存在11(,max)iiiiinxxxx其中函数f(x)在[a,b]上的定积分.记成niiibaxfdxxf10)(lim)(则称函数f(x)在[a,b]上可积,这个极限值就称为()bafxdxiinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba积分上限积分下限积分和()d()()d.bbbaaafxxftdtfuu(1)定积分是积分和式的极限，是一个数值，xxfbad)(注意：(2)注意在定积分的定义中的两个任意性，函数可积即意味着极限值与对区间的分割方式及在区间1,iixx上点i的取法无关；定积分值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的记法无关.即有定理1定理2()[,],()[,].fxabfxab设函数在区间上连续则在上可积()[,],,()[,].fxabfxab设函数在区间上有界且只有有限个第一类间断点则在上可积定理3()[,],()[,].fxabfxab设函数在区间上单调有界则在上可积问题:()[,]?fxab满足什么条件时,函数在上可积三、积分存在定理（可积的充分条件）boxya(1)若当x[a,b]时,Adxxfba曲边梯形面积)(Ay=f(x)连续函数f(x)0四、定积分的几何意义(2)若当x[a,b]时,连续函数Adxxfba)(oxyaby=f(x)Af(x)0,oxy一般，曲边梯形的面积|()|bafxdx；而()bafxdx的几何意义则是曲边梯形面积的代数和。abA1A2A3A4()yfx++(3)若当x[a,b]时,连续函数f(x)既取得正值,又取得负值时1234()bafxdxAAAA其中Ai表示第部分图形的面积.22aaaxdx例1由定积分的几何意义可得：0axdxsinxdxxyOyxa212a121xdx120xdxxyO22aaaxdx例1由定积分的几何意义，指出下列积分的值。0axdxsinxdx121xdx120xdx22yaxa212a212a-axyO22aaaxdx例1由定积分的几何意义可得：0axdxsinxdxsinyx212a－0212a121xdx120xdxxOy22aaaxdx例1由定积分的几何意义可得：0axdxsinxdx121xdx120xdx212a0212a1122yx0xy=x2yn1n2nn11解:因为y=x2在[0,1]上连续,定积分存在,将区间[0,1]等分成n等份,11210nnnn),,2,1(,1nininxii取分点为例2120xdx利用定义计算定积分于是iniixfdxx10102)(limninnni121)(limninin1231lim)12)(1(611lim3nnnnn3)12)(1(lim61nnnnn311iixnin例3.用定积分表示下列极限:1111()limnniinn1122()limppppnnn解:ninnin111lim)1(nninin11lim1iixxxd11001()lim()nbiiaifxdxfx1()iif121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix01()lim()nbiiaifxdxfx()()piif例4将和式极限12(1)limsinsinsinnnnnnn表示成定积分.解：原式12(1)limsinsinsinsinnnnnnnnn()bafxdxiinixf)(lim1011limsinnniinn11limsinnniinn01sin.xdxixi()siniif第二部分定积分的性质对定积分的补充规定:（1）当ba时，0)(badxxf；（2）当ba时，abbadxxfdxxf)()(.（3）定积分与积分区间和被积函数有关，而与积分变量无关。即()()().aaabbbxxtfdfdftuud性质1:设f(x)、g(x)在[a,b]上可积,则f(x)g(x)bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([在[a,b]可积,且证:[()()]bafxgxdx0011lim()lim()nniiiiiifxgx01lim[()()]niiiifgx()()bbaafxdxgxdx推论有限个函数的代数和的定积分等于各函数的积12d[()()()]bnafxfxfxx定分的代数和，即12ddd()()().bbbnaaafxxfxxfxx性质1可以推广到有限多个函数的情形性质2:设f(x)在[a,b]上可积,则kf(x)在[a,b]可积,且()()()bbaakfxdxkfxdxk为常数证:01()lim()nbiiaikfxdxkfx01lim()niiikfx()bakfxdx性质3:设f(x)在[a,b]上可积,acb,则f(x)分别()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx此时,c称为内分点.在[a,c],[c,b]上可积,且xyO()yfxbac性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可用于求分段函数的定积分。推论:设f(x)在[a,c]上可积,abc,则:()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx此时,c称为[a,b]的外分点.或f(x)在[c,b]上可积,cab,总之：不论的相对位置如何,性质3总成立.cba,,性质4:设在[a,b]上,f(x)1.则1bbaadxdxba性质5:设f(x)在[a,b]上可积,且f(x)0.则0()bafxdx推论1:如果在[a,b]上可积,且f(x)g(x).则()()bbaafxdxgxdx例5在下列两个定积分之间添加适当的不等号221xdx21xdx21xedx221xedx（2）（1）例6．比较积分的大小：10,xdx10ln(1)xdx解：设ln1,fxxx0,1xfx111x1xx0表明，fx单调增加，且00f从而0fx即ln1xx证得11001ln()xdxxdx(0,1)x比较积分值dxex20和dxx20的大小.解：显然,xex]0,2[xdxex02,02dxx于是dxex20.20dxx练习推论2:babadxxfdxxf|)(|)(证:|)(|)(|)(|xfxfxfbababadxxfdxxfdxxf|)(|)(|)(|babadxxfdxxf|)(|)(即:性质6:设M和m分别是f(x)在[a,b]上的最大值()()()bambafxdxMba证:()mfxM()bbbaaamdxfxdxMdx()()()bambafxdxMba即:及最小值,则（此性质可用于估计积分值的大致范围）()ab例如:4112(),[,],fxxx对1116()fx1412xdx141211:322xdx即11(1)2116得1(1)2解31(),3infxsx[0,],x30sin1,x3111,43sin3x3013sindxx301.43sin3dxx01,3dx014dx例73013.sindxx估计积分值的大小解,sin)(xxxf2sincos)(xxxxxf2)tan(cosxxxx]2,4[x,0例824sin.xdxx估计积分的值42()[,],fx从而，在单调下降42,,xx故最大值点为最小值点于是，,22)4(fM,2)2(fm,442ab,422sin4224dxxx.22sin2124dxxx估计积分dxxx24sin的值.例9证明证224133xedxe22'()xfxxe224133xedxe设2()xfxe令0(),fx得驻点x=0，又01()Mf，11()fe，42(),fe001()fe，最小值为-4me即241,xee12()x211dx241edx221xedx()fx在[-1,2]上的最大值为性质7:(定积分中