有限元分析及应用

有限元分析及应用第一章有限元法简介2有限元法介绍有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个结点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。由于单元的数目是有限的，结点的数目也是有限的，所以称为有限元法(FEM，FiniteElementMethod)。3有限元法是最重要的工程分析技术之一。它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流体力学、热传导等领域。有限元法是60年代以来发展起来的新的数值计算方法，是计算机时代的产物。虽然有限元的概念早在40年代就有人提出，但由于当时计算机尚未出现，它并未受到人们的重视。4随着计算机技术的发展，有限元法在各个工程领域中不断得到深入应用，现已遍及宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、海洋等工业，是机械产品动、静、热特性分析的重要手段。早在70年代初期就有人给出结论：有限元法在产品结构设计中的应用，使机电产品设计产生革命性的变化，理论设计代替了经验类比设计。5有限元法的孕育过程及诞生和发展牛顿(Newton)莱布尼茨(LeibnizG.W.)6大约在300年前，牛顿和莱布尼茨发明了积分法，证明了该运算具有整体对局部的可加性。虽然，积分运算与有限元技术对定义域的划分是不同的，前者进行无限划分而后者进行有限划分，但积分运算为实现有限元技术准备好了一个理论基础。7在牛顿之后约一百年，著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数方程组的解法。这两项成果的前者被用来将微分方程改写为积分表达式，后者被用来求解有限元法所得出的代数方程组。高斯(Gauss)8在18世纪，另一位数学家拉格朗日提出泛函分析。泛函分析是将偏微分方程改写为积分表达式的另一途径。拉格朗日(LagrangeJ.)9在19世纪末及20世纪初，数学家瑞利和里兹（RayleighRitz）首先提出可对全定义域运用展开函数来表达其上的未知函数。瑞利(Rayleigh)101915年，数学家伽辽金(Galerkin)提出了选择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法被广泛地用于有限元。1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数。这实际上就是有限元的做法。1112（对象、变量、方程、求解途径）各力学学科分支的关系13(1)桥梁隧道问题14任意变形体力学分析的基本变量及方程研究对象：任意形状的变形体几种典型的对象圆形隧道三维模型15(2)中华和钟(3)矿山机械16(4)压力容器的成形17变形体及受力情况的描述18求解方法19有限元方法的思路及发展过程思路：以计算机为工具，分析任意变形体以获得所有力学信息，并使得该方法能够普及、简单、高效、方便，一般人员可以使用。实现办法：20技术路线：21发展过程：如何处理对象的离散化过程22......常用单元的形状点(质量)线(弹簧，梁，杆，间隙)面(薄壳,二维实体,轴对称实体)二次体(三维实体)线性二次..线性..............................23点单元线单元一维波传导问题24点单元线单元25XY00.020.040.060.080.10.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020XY0.0540.0560.0580.06-0.003-0.002-0.0010面单元28XY00.020.040.060.080.10.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020XY0.0540.0560.0580.06-0.003-0.002-0.00102930受垂直载荷的托架31•线性单元/二次单元–更高阶的单元模拟曲面的精度就越高。低阶单元更高阶单元体单元32有限元分析的作用复杂问题的建模简化与特征等效软件的操作技巧（单元、网格、算法参数控制）计算结果的评判二次开发工程问题的研究误差控制36第二章有限元分析的力学基础2.1变形体的描述与变量定义(1)变形体变形体：即物体内任意两点之间可发生相对移动。有限元方法所处理的对象：任意变形体38(2)基本变量的定义可以用以下各类变量作为任意变形体的描述因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：位移、应变、应力量39目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程和材料物理方程(3)研究的基本技巧采用微小体积元dxdydz的分析方法（针对任意变形体）402.2弹性体的基本假设为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。(1)物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述；(2)物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性；(3)物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性；(4)线性弹性假定：物体的变形与外来作用的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状；(5)小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方程时，可以高阶小量（二阶以上）。以上基本假定将作为问题简化的出发点。412.3基本变量的指标表达指标记法的约定：自由指标：在每项中只有一个下标出现，如，i，j为自由指标，它们可以自由变化；在三维问题中，分别取为1，2，3；在直角坐标系中，可表示三个坐标轴x,y,z。哑指标：在每项中有重复下标出现，如：，j为哑指标。在三维问题中其变化的范围为1,2,3ijijijbxa42Einstein求和约定：哑指标意味着求和指标记法的应用：对于方程组按一般的写法，可写为若用指标记法：(2-3)式与(2-2)式等价，因为j为哑指标，意味着求和（2-1）（2-2）（2-3）43克罗内克符号在笛卡尔直角坐标系下，由ijδ表示的Kronecker(克罗内克)符号定义为jijiδij如果如果,0,1亦即1332211δδδ0233213312112δδδδδδ44那么，矩阵333231232221131211δδδδδδδδδ100010001=是单位矩阵。根据上述定义，可以推出下列关系3332211δδδδii333323213132323222121213132121111aaδaδaδaδaaδaδaδaδaaδaδaδaδjjjjjj45弹性力学里假想把物体分成无限多微小六面体，称为微元体。考虑任一微元体的平衡（或运动），可写出一组平衡（或运动）微分方程及边界条件。但未知应力的数目总是超过微分方程的数目，所以弹性力学问题都是超静定的，必须同时考虑微元体的变形条件以及应力和应变的关系，它们在弹性力学中相应的称为几何方程和物理方程。平衡（或运动）方程、几何方程和物理方程以及边界条件，称为弹性力学的基本方程。2.4弹性力学的基本方法46从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几何、物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求解，最后利用边界（表面）条件确定解中的常数，这就是求解弹性力学问题的基本方法。472.5空间问题的基本方程dydxdz483D情形下的力学基本变量将正应力和正应变简写成49a’bb’aa’dd’cc’xyxyyxyxyzyzzyzyzxzxxzxz50由力平衡条件0X有：0Xdxdydzdxdydxdydzzdxdzdxdzdyydydzdydzdxxzxzxzxyxyxyxxxx化简得到0Xzyxzxyxx0Y0Yzyxzyyxy0Z0Zzyxzyzxz平衡微分方程51平衡微分方程的矩阵形式为0bσ其中，是微分算子xyzzxyzyx000000000式中，b是体积力向量，T][ZYXb52由力矩平衡条件有：0xM02222dzdxdydzdxdydzzdydxdzdydxdzdyyzyzyzyyzyzyz全式除以dxdydz，合并相同的项，得02121dzzdyyzyzyyzyz略去微量项，得zyyzxzzx0YMyxxy0ZM剪切力互等定律53二维问题：平衡微分方程0Xyxyxx0Yyxyxy剪切力互等定律yxxy54应力边界条件四面微分体Mabc55斜微分面abc为其边界面的一部分，其外法线N与各坐标轴夹角的余弦为cos(N，x)=l，cos(N，y)=m，cos(N，z)=n。从M点到斜微分面abc的垂直距离dh（图中未标出），是四面微分体的高。56dAdhdV31四面微分体的体积为假定斜微分面abc上作用的面力在三个坐标轴上的投影分别为XYZ体积力分量为X、Y、Z。设斜微分面的面积为dA，则其它三个微分面的面积为Mac=dA×l，Mab=dA×m，Mcb=dA×n。57考虑0Y0YdVndAmdAldAdAYzyyxy将上式除以dA，并注意到体积力项dhdAdV31当令dh→0取极限时，体积力一项趋于零。由此得到Ynmlzyyxy考虑0XXnmlzxyxx考虑0ZZnmlzyzxz应力边界条件58二维问题：应力边界条件YmlyxyXmlyxx59圣维南原理（局部影响原理）物体表面某一小面积上作用的外力，如果为一静力等效的力系所代替，只能产生局部应力的改变，而在离这一面积稍远处，其影响可以忽略不计。606162均匀分布载荷作用下的平板，应力分布是均匀的。材料力学中的拉伸应力计算公式就是圣维南原理应用的结论。63一对集中力F/2作用点区域仍然有比较大的应力梯度变化，但是比等效力系F作用的变化小。远离力的作用点区域，应力分布仍然均匀。而且均匀区域更大。64几何方程：位移与应变的关系B1A1θ1θ265设P点的位移分量为u和v，由于坐标x有一增量dx，A点的位移较P点的位移也有一相应的增量，从而A点的位移分量为：。dxxuuuAdxxvvvA同理，B点的位移分量为：dyyuuuBdyyvvvB66在小变形的前提下，∠A’P’A1很小，可以认为，线段PA位移后的绝对伸长，可以用线段两端点沿x轴的位移之差来表示，即：。dxxuudxxuuuuPAAPPAxudxdxxuPAPAAPx从而线段PA的正应变为：。x同理线段PB的正应变为：。yyvdydyyvPBPBBPy67对于三维情况的微分体，可以得到：zwz因此，可以总结为：xuxzwzyvy68下面，研究线段PA与PB间所夹直角的变化，即剪应变γxy。这个剪应变由两部分组成，一部分是与x轴相平行的PA向y轴方向的转角θ1；另一部分是与y轴平行的线段PB向x轴方向的转角θ2。在小变形情况下xuxvudxxuudxvdxxvvtg11169上式分母中的，可以略去。从而上式可简写为：1xxuxv1同样可得：yu2线段PA与PB间的剪应变γxy等于θ1与θ2之和：yuxvxy21zvywyzxwzuzx70xuxyuxvxyyvyzvywyzzwzxwzuzx至此，我们得到了六个应变分量与三个位移分量间的全部关系式：称为几何方程71几何方程式的矩阵形式为uεt为微分算子t其中的转置T000000000