高数定积分概念与性质

第五章定积分积分学不定积分定积分第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的近似计算定积分的概念及性质四、定积分的性质一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积矩形面积梯形面积设函数yf(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.•观察与思考在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时,小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?怎样求曲边梯形的面积？1xix1ixayO解决步骤:1)分割.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点bxxxxxann1210],[1iiixx用直线ixx将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)近似.在第i个窄曲边梯形上任取作以],[1iixx为底,)(if为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得)()(1iiiiiixxxxfAi3)求和.niiAA1niiixf1)(4)取极限.令则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim1xix1ixayOi2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)分割.将它分成在每个小段上物体经2)近似.得iiitvs)(),,2,1(ni已知速度n个小段过的路程为3)求和.4)取极限.上述两个问题的共性:•解决问题的方法步骤相同:“分割,近似,求和,取极限”•所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限Oabx二、定积分定义(P225)任一种分法,210bxxxxan任取i总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称f(x)在[a,b]上可积.记作baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间],[ba定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即baxxfd)(battfd)(bauufd)(定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和OO1xyni可积的充分条件:取定理1.定理2.且只有有限个间断点(证明略)例1.利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为2xyiiiixxf2)(则32niiinixf)(1niin1231)12)(1(6113nnnn)12)(11(61nniniixxx120102limdnlim31注注O1xyni2xy注.当n较大时,此值可作为的近似值xxd102121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例2.用定积分表示下列极限:ninnin111lim)1(121lim)2(ppppnnn解:ninnin111lim)1(nninin11lim1iixxxd110Ox1ni1ni三、定积分的近似计算,],[)(baCxf设,d)(存在则baxxf根据定积分定义可得如下近似计算方法:),,1,0(nixiaxi,nabx),,1,0()(niyxfii记baxxfd)(xyxyxyn110)(110nnabyyy将[a,b]分成n等份:Oabxyix1ix1.左矩形公式)(21nnabyyybaxxfd)(xyxyxyn21例12.右矩形公式baxxfd)(xyyii][211)()(21110nnyyyynab11niabxOyix1ixayObx12ixix222ixmx20xbaxxfd)(imiimimyyyymab21112120246推导3.梯形公式4.抛物线法公式例3.用梯形公式和抛物线法公式xxId14102解:计算yi(见右表)的近似值.13993.3I14159.3Iixiyi00.04.0000010.13.9604020.23.8461530.33.6697240.43.4482850.53.2000060.62.9411870.72.6845680.82.4390290.92.20994101.02.00000(取n=10,计算时取5位小数)用梯形公式得用抛物线法公式得积分准确值为1204d3.14159261πIxx计算定积分四、定积分的性质(设所列定积分都存在)0d)(aaxxfbaxd.2(k为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)]()([.4证:iiinixgf)]()([lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010=右端ab证:当bca时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取c为分点,于是],[)(baiixf],[)(caiixf],[)(bciixf0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(abcabc当a,b,c的相对位置任意时,例如,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(6.若在[a,b]上0)(1iinixf则证:baxxfd)(0)(lim10iinixf推论1.若在[a,b]上则推论2.证:)(xf)(xf)(xf)(baxxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7.设,)(min,)(max],[],[xfmxfMbaba则)(ba例4.试证:证:设)(xf,sinxx则在),0(2π上,有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2π即π2,1)(xf),0(x2π故xxxfxd1d)(d2π2π2π0002即2πdsin12π0xxx8.积分中值定理则至少存在一点使))((d)(abfxxfba证:,,],[)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则由性质7可得根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在],[ba使因此定理成立.性质7Oxbay)(xfy说明:•可把)(d)(fabxxfba故它是有限个数的平均值概念的推广.•积分中值定理对因)(1lim1niinfn例5.计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.解:已知自由落体速度为tgv故所求平均速度2211TgT2Tg内容小结1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理矩形公式梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算抛物线法公式OπxO1xn1n2nn1思考与练习1.用定积分表示下述极限:解:10πsinlimnknnkIπ1nππ0dsinπ1xxnπnπ2nnπ)1(或)(πsinlim10nknnkIn110dsinπxx思考:如何用定积分表示下述极限提示:nknnkI1πsinlimπ1nπnnnnπsin1limnnnnπ)1(sin1limπ0dsinπ1xx极限为0!2.P235题33.P236题13(2),(4)题13(4)解:设,)1ln()(xxxf则xxf111)(]1,0(x,0)(xf]1,0(,0)0()(xfxf0d)(10xxf即xxxxd)1(lnd1010作业P235*2(2);6;7;10(3),(4);12(3);13(1),(5)第二节